5.函数的单调性-2023届四川省眉山第一中学高三数学一轮讲义

眉山一中2023届高三第一轮数学复习：函数 函数的单调性：知识梳理 一 增、减函数的定义 1.函数在区间上是增函数 对任意都有； 对任意都有； 对任意都有 函数在区间上的图像从左往右看，图像逐渐上升； 函数在区间上的图像上任意两点连线的斜率都大于零； 在区间上恒成立（不是常值函数）。 例1：已知奇函数f(x)对任意的正实数x1，x2(x1≠x2)，恒有(x1－x2)(f(x1)－f(x2))>0，则一定正确的是(　　) A．f(4)>f(－6) B．f(－4)<f(－6) C．f(－4)>f(－6) D．f(4)<f(－6) 2.函数在区间上是减函数 对任意都有； 对任意都有； 对任意都有 函数在区间上的图像从左往右看，图像逐渐下降； 函数在区间上的图像上任意两点连线的斜率都小于零； 在区间上恒成立（不是常值函数）。 例1：1.已知函数f(x)的图象向左平移1个单位后关于y轴对称，当x2>x1>1时，[f(x2)－f(x1)]·(x2－x1)<0恒成立，设a＝f(－)，b＝f(2)，c＝f(3)，则a，b，c的大小关系为(　　) A．c>a>b B．c>b>a C．a>c>b D．b>a>c 2．已知函数的定义域为,为偶函数，且对，满足.若，则不等式的解集为 A． B． C． D． 例2：画图确定函数单调性 1.对于任意实数a，b，定义min{a，b}＝设函数f(x)＝－x＋3，g(x)＝log2x，则函数h(x)＝min{f(x)，g(x)}的最大值是______. 2.已知f(x)＝不等式f(x＋a)>f(2a－x)在[a，a＋1]上恒成立，则实数a的取值范围是________. 3.对函数单调性的理解 （1）对区间而言谈函数的单调性才有意义； （2）函数在该区间上是增函数或减函数的区间称为函数的单调区间； （3）函数在区间上是增函数且则； 例1.函数f(x)是定义在R上的单调递增函数，且满足对任意的实数x都有f[f(x)－3x]＝4，则f(x)＋f(－x)的最小值等于(　　) A．2 B．4 C．8 D．12 2.(2017·全国Ⅰ卷)已知函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减，且为奇函数.若f(1)＝－1，则满足－1≤f(x－2)≤1的x的取值范围是(　　) A.[－2，2] B.[－1，1] C.[0，4] D.[1，3] 4.函数的最值 前提 设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足 条件 (1)对于任意x∈I，都有f(x)≤M； (2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M (3)对于任意x∈I，都有f(x)≥M； (4)存在x0∈I，使得f(x0)＝M 结论 M为最大值 M为最小值 二 函数单调性的判断 1.熟悉十二个初等函数的单调性：一次函数、正比例函数、反比例函数、二次函数、指数函数、 对数函数、幂函数、正弦函数、余弦函数、正切函数、勾勾函数、形如的函数 2.增＋增为增；减＋减为减；增－减为增；减－增为减； 3.当两函数在某区间上的函数值为正时， （1）函数y＝f(x)(f(x)>0)在公共定义域内与y＝－f(x)，y＝的单调性相反. （2）增增为增；减减为减；为增；为减。 例1．1.函数的最小值为（ ） 　 A．0 B． C．1 D．不存在 2.若2x＋5y≤2－y＋5－x，则有(　　) A．x＋y≥0 B．x＋y≤0 C．x－y≤0 D．x－y≥0 3.函数f(x)＝－在x∈[1，4]上的最大值为M，最小值为m，则M－m的值是(　　) A. B.2 C. D. 4.已知函数f(x)＝x2－2ax＋a在区间(－∞，1)上有最小值，则函数g(x)＝在区间(1，＋∞)上一定(　) A.有最小值 B.有最大值 C.是减函数 D.是增函数 5.设f(x)是定义在R上的函数，且在(-∞，+∞)上是增函数，又F(x)=f(x)-f(-x)，那么F(x)一定是( ) A.奇函数，且在(-∞，+∞)上是增函数 B.奇函数，且在(-∞，+∞)上是减函数 C.偶函数，且在(-∞，+∞)上是增函数 D.偶函数，且在(-∞，+∞)上是减函数 6.【2017天津，理6】已知奇函数在R上是增函数，.若，，，则a，b，c的大小关系为 A. B. C. D. 7.设其中如果在上有意义，求的取值范围 4.函数在某区间上具有单调性，则函数在该区间的子区间上具有相同的单调性； 例．1.已知函数f(x)＝x2－2ax－3在区间[1,2]上是增函数，则实数a的取值范围为