6.3 板块综合融会 平面向量的综合问题(习题课)（Word教参）- 【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学必修第二册（人教B版2019）

板块综合融会　平面向量的综合问题(习题课—小结评价式教学) [建构知识体系] [融通学科素养] 1.学科素养点拨 本章的主要内容是平面向量的相关概念和线性运算，是高考的常考内容，是学习向量后续内容的基础，属于基础内容，本章体现数学抽象、直观想象、数学运算等核心素养. 2.数学思想方法 (1)平面向量是兼具“数”和“形”的量，无论是向量的表示方法，还是线性运算，都要应用数形结合的思想方法，这也是向量几何意义的重要应用. (2)在向量的线性运算中用基底表示向量，把三点共线问题转化为向量共线的问题等都利用了化归的思想方法.解答此类问题，要仔细领会题意，善于把条件转化为结论. (3)向量的相等、平行等的定义及性质的应用都体现了函数与方程的思想，根据这一思想，可以解决求向量的坐标、求参数的值、用已知向量表示未知向量等问题.在向量求值过程中，构建关于某些量的函数、方程(组)，使用相关函数性质或解方程，获得相关结论.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 融通点(一)　平面向量的线性运算 [典例1]　(1)(2022·新课标Ⅰ卷)在△ABC中，点D在边AB上，BD＝2DA.记＝m，＝n，则＝(　 ) A.3m－2n B.－2m＋3n C.3m＋2n D.2m＋3n (2)在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，若＝m＋n，则＝________. [解析]　(1)因为BD＝2DA，所以＝3，所以＝＋＝＋3＝＋3(－)＝－2C＋3C＝－2m＋3n.故选B. (2)由AD为BC边上的中线，E为AD的中点，可得＝＋＝－(＋)＋＝－，所以m＝，n＝－，所以＝－3. [答案]　(1)B　(2)－3 [方法技巧] 向量线性运算的解题策略 (1)常用的法则是平行四边形法则和三角形法则，一般共起点的向量求和用平行四边形法则，求差用三角形法则，求首尾相连的向量的和用三角形法则. (2)找出图形中的相等向量、共线向量，将所求向量与已知向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解. (3)用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧：①观察各向量的位置；②寻找相应的三角形或多边形；③运用法则找关系；④化简结果.　　 [针对训练] 1.如图，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N.设＝m，＝n，则m＋n＝(　 ) A.1 B.2 C. D.3 解析：选B　由题意得＝(＋)＝(m＋n)＝＋， 因为M，O，N三点共线，所以＋＝1，解得m＋n＝2，故选B. 2.在△ABC中，＝，＝，且＝λ＋μ，则λ＋μ＝(　 ) A.1 B. C.－ D.－1 解析：选C　由题意在△ABC中，＝，＝，根据向量的线性运算法则，可得＝＋＝＋＝－＋(－)＝－＋，又由＝λ＋μ，所以λ＝－，μ＝，所以λ＋μ＝－＋＝－. 融通点(二)　平面向量基本定理的应用 [典例2]　如图，在△ABC中，D，E分别是BC，AB上的点，且＝2，3＝2，AD，CE交于点O.若＝x＋y，求x，y的值. [解]　法一：因为＝2，3＝2，所以＝，＝. 所以＝＋＝＋＝＋＝＋. 又＝－＝－， 所以＝3－2＝＋， 整理得＝－. 所以x＝，y＝－. 法二：设＝m，＝n.由＝2，3＝2，得 解得m＝－－.所以＝＋m＝－.所以x＝，y＝－. [方法技巧] 平面向量基本定理的实质及解题思路 (1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘向量等线性运算. (2)用平面向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.　　 [针对训练] 3.在平行四边形ABCD中，＝，＝，则＝(　 ) A.－ B.－ C.＋ D.＋ 解析：选C　如图，设＝a，＝b. 因为＝， 所以＝＋＝－a－b. 因为＝，所以＝＋＝b＋a. 设＝m＋n，则－a＝m＋n. 由解得即＝＋. 融通点(三)　向量线性运算中的最值和范围问题 [典例3]　若点G是△ABC所在平面内一点，且＋＋＝0，H是直线BG上一点，＝x＋y，则x2＋4y2的最小值是(　 ) A.2 B.1 C. D. [解析]　设G(x，y)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)， 因为＋＋＝0，所以x＝，y＝.所以点G是△ABC的重心. 设点D是AC的中点，则＝2，B，G，D共线，如图所示， 有＝x＋2y. 因为B，H，D三点共线，所以x＋2y＝1. 所以x2＋4y2＝x2＋(2y)2 ≥＝，当且仅当x＝2y，即x＝，y＝时取等号，故x2＋4y2的最小值是. [答案]　C [方法技巧] 利用向量的概念及基本运算，将所求问题转化为相应的等式关系，然后用均值不等式求最值.　　 [针对训练