6.2.3 平面向量的坐标及其运算(强基课)（Word教参）- 【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学必修第二册（人教B版2019）

6.2.3　平面向量的坐标及其运算(强基课—梯度进阶式教学) 课时目标 1.借助平面直角坐标系，掌握平面向量的正交分解及坐标表示，会用坐标表示平面向量的加、减运算与数乘运算. 2.能用坐标表示平面向量共线的条件. (一)平面向量的坐标 1.向量的垂直 平面上的两个非零向量a与b，如果它们所在的直线互相垂直，我们就称向量a与b垂直，记作a⊥b.规定零向量与任意向量都垂直. 2.向量的正交分解 如果平面向量的基底{e1，e2}中，e1⊥e2，就称这组基底为正交基底；在正交基底下向量的分解称为向量的正交分解. 3.向量的坐标 一般地，给定平面内两个相互垂直的单位向量e1，e2，对于平面内的向量a，如果a＝xe1＋ye2，则称(x，y)为向量a的坐标，记作a＝(x，y). 微点助解 求平面向量坐标的两种方法 (1)将向量用单位向量e1，e2表示出来； (2)将向量的始点平移到原点，读出终点的坐标. [基点训练] 1.如图所示，{e1，e2}为正交基底，则向量2a＋b的坐标为(　 ) A.(3,4) B.(2,4) C.(3,4)或(4,3) D.(4,2)或(2,4) 解析：选A　∵ a＝e1＋e2，∴2a＝2e1＋e2.又b＝e1＋3e2，∴2a＋b＝(2e1＋e2)＋(e1＋3e2)＝3e1＋4e2. ∴2a＋b在基底{e1，e2}下的坐标为(3,4). 2.已知向量i＝(1,0)，j＝(0,1)，对于该坐标平面内的任一向量a，则下列四个结论正确的是(　 ) A.存在唯一的一对实数x，y，使得a＝(x，y) B.若x1，x2，y1，y2∈R，a＝(x1，y1)≠(x2，y2)，则x1≠x2，且y1≠y2 C.若x，y∈R，a＝(x，y)，且a≠0，则a的始点是原点O D.若x，y∈R，a≠0，且a的终点坐标是(x，y)，则a＝(x，y) 解析：选A　由平面向量基本定理，知A正确；举反例，a＝(1,0)≠(1,3)，但1＝1，故B错误；向量可以平移，a＝(x，y)与a的始点是不是原点无关，故C错误；当a的终点坐标是(x，y)时，a＝(x，y)是以a的始点是原点为前提的，故D错误. (二)平面向量的坐标运算及常用公式 1.平面上向量的运算与坐标的关系 向量的加、减法 若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，即两个向量和与差的坐标等于两个向量相应坐标的和与差 实数与向量的积 若a＝(x，y)，λ∈R，则λa＝(λx，λy)，即数乘向量积的坐标等于数乘以向量相应坐标的积 向量的数乘、加、减混合运算 若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，u，v∈R，则ua±vb＝(ux1±vx2，uy1±vy2) 向量的模 若a＝(x，y)，则|a|＝ 2.平面直角坐标系内两点之间的距离公式与中点坐标公式 设A(x1，y1)，B(x2，y2)为平面直角坐标系中的两点，则AB＝||＝，线段AB的中点坐标为. 3.向量平行的坐标表示 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b⇔x2y1＝x1y2. [基点训练] 1.判断正误(正确的划“√”，错误的划“×”) (1)相等向量的坐标相同与向量的始点、终点无关.(　 ) (2)两向量差的坐标与两向量的顺序无关.(　 ) (3)点的坐标与向量的坐标相同.(　 ) (4)已知a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，若a∥b，则必有a1b2＝a2b1.(　 ) 答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)√ 2.若a＝(2,1)，b＝(1,0)，则3a－2b的坐标是(　 ) A.(5,3) B.(4,3) C.(8,3) D.(0，－1) 解析：选B　3a－2b＝3(2,1)－2(1,0)＝(4,3). 3.已知向量a＝(1,2)，2a＋b＝(3,2)，则|b|等于(　 ) A. B.2 C. D.2 解析：选A　b＝(3,2)－2a＝(3,2)－(2,4)＝(1，－2)，故|b|＝＝. 题型(一)　平面向量的坐标 [典例1]　如图所示，分别用单位正交基底{i，j}表示向量a，b，c，d，并求出它们的坐标. 　　　 [解]　由题图可知a＝＋＝2i＋3j， ∴a＝(2,3). 同理可得b＝－2i＋3j＝(－2,3)， c＝－2i－3j＝(－2，－3)， d＝2i－3j＝(2，－3). [方法技巧] 求平面向量坐标的一般方法 (1)数形结合法：根据正交分解，求向量在x轴、y轴上的坐标分量. (2)平移法：把向量的始点移至坐标原点，终点坐标即向量的坐标.　　 [针对训练] 1.已知O是坐标原点，点A在第一象限，||＝4，∠xOA＝60°，求向量的坐标. 解：设点A(x，y)，则x＝||cos 60°