6.2.1 向量基本定理(深化课)（Word教参）- 【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学必修第二册（人教B版2019）

6.2.1　向量基本定理(深化课—题型研究式教学) 课时目标　 1.理解平面向量基本定理及其意义，理解两个平面向量共线的含义. 2.能应用共线向量基本定理和平面向量基本定理解决一些实际问题. 1.共线向量基本定理 (1)定义：如果a≠0且b∥a，则存在唯一的实数λ，使得b＝λa. (2)说明：①b＝λa时，通常称为b能用a表示.②唯一性，当b＝λa时，λ唯一. (3)作用：如果A，B，C是三个不同的点，则它们共线的充要条件是：存在实数λ，使得＝λ. 2.平面向量基本定理 如果平面内两个向量a与b不共线，则对该平面内任意一个向量c，存在唯一的实数对(x，y)，使得c＝xa＋yb.平面内不共线的两个向量a与b组成该平面上向量的一组基底，记为{a，b}，此时如果c＝xa＋yb，则称xa＋yb为c在基底{a，b}下的分解式. 题型(一)　共线向量基本定理的应用 [典例1]　(1)设e1，e2是两个不共线的向量，＝2e1＋ke2，＝e1＋3e2，＝2e1－e2，若A，B，D三点共线，求实数k的值； (2)设e1，e2是两个不共线的向量，若a＝2e1－3e2，b＝2e1＋3e2，c＝2e1－9e2，问：是否存在实数λ，μ，使d＝λa＋μb与c共线？ [解]　(1)若A，B，D三点共线，则与共线.设＝λ(λ∈R)，∵＝－＝2e1－e2－(e1＋3e2)＝e1－4e2，∴2e1＋ke2＝λe1－4λe2. 由e1与e2不共线可得解得λ＝2，k＝－8. (2)d＝λ(2e1－3e2)＋μ(2e1＋3e2)＝(2λ＋2μ)e1＋(－3λ＋3μ)e2，要使d与c共线，则存在实数k，使得d＝kc，即(2λ＋2μ)e1＋(－3λ＋3μ)e2＝2ke1－9ke2. 所以解得λ＝－2μ. 故存在实数λ和μ，使得d与c共线，此时λ＝－2μ. 1.证明或判断三点共线的方法 一般来说，要判定A，B，C三点是否共线，只需看是否存在实数λ，使得＝λ(或＝λ等)即可. 2.利用向量共线求参数的方法 已知向量共线求λ，常根据向量共线的条件转化为相应向量系数相等求解.　　 [针对训练] 1.已知A，B，P三点共线，O为直线外任意一点，若＝x＋y，求x＋y的值. 解：因为A，B，P三点共线，所以向量，在同一直线上.由共线向量基本定理可知，必定存在实数λ，使得＝λ，即－＝λ(－)， 所以＝(1－λ)＋λ，故x＝1－λ，y＝λ，即x＋y＝1. 题型(二)　用基底表示向量 [典例2]　(1)D，E，F分别为△ABC的边BC，CA，AB上的中点，且＝a，＝b，则下列结论不正确的是(　 ) A.＝－a－b 　 B.＝a＋b C.＝－a＋b 　 D.＝a (2)如图所示，在▱ABCD中，E，F分别是BC，DC的中点，若＝a，＝b，试以{a，b}为基底表示，. 　 [解析]　(1)如图，＝＋＝－b＋＝－b－a，A正确；＝＋＝a＋b，B正确； ＝＋＝－b－a， ＝＋＝b＋(－b－a)＝b－a，C正确；＝＝－a，D不正确. [答案]　D (2)∵四边形ABCD是平行四边形，E，F分别是BC，DC的中点， ∴＝＝2，＝＝2， ∴＝＝b，＝＝－＝－a， ∴＝＋＋B＝－＋＋＝－b＋a＋b＝a－b，＝＋＝＋＝b－a. [方法技巧] (1)用基底表示平面向量，要充分利用向量加法、减法的三角形法则或平行四边形法则，结合数乘定义，解题时要注意解题途径的优化与组合. (2)将向量c用a，b表示，常采用待定系数法，其基本思路是设c＝xa＋yb，其中x，y∈R，然后得到关于x，y的方程组求解.　　 [针对训练] 2.如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，E，F分别是DC，AB的中点，设＝a，＝b，试用基底{a，b}表示，，. 解：因为DC∥AB，AB＝2DC，E，F分别是DC，AB的中点，所以＝＝a，＝＝＝b， ＝＋＋＝－－＋ ＝－×b－a＋b＝b－a. 题型(三)　向量基本定理的应用 [典例3]　(1)如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，E为AO的中点，若＝x＋y(x，y∈R)，则x－y等于(　 ) A.1 B.－1 C. D.－ (2)如图，在△ABC中，D是AB的中点，E在边AC上，AE＝3EC，CD与BE交于点O，则＝(　 ) A.2 B.3 C.4 D.5 [解析]　(1)由题意知＝＋＝－＋＝－(＋)＋＝－＋. 因为＝x＋y(x，y∈R)，所以x＝－，y＝，x－y＝－1. (2)设＝λ＝λ＝＋＝＋2λ. 因为O，B，E三点共线，所以＋2λ＝1， 解得λ＝. 所以＝＋，即(－) ＝(－).所以＝4.所以＝4. [答案]　(1)B　(2)C [方法技巧] 用平面向量基本定理解决问题的一般思路：先选择一个基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过