4.6 函数的应用(二)(强基课)（Word教参）- 【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学必修第二册（人教B版2019）

4.6　函数的应用(二)(强基课—梯度进阶式教学) 课时目标 本节课的重点和难点是掌握幂函数、指数函数、对数函数模型的应用，能够选择合适的数学模型分析解决实际问题. 常见的函数模型 一次函数模型 y＝kx＋b(k，b为常数，k≠0) 二次函数模型 y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0) 指数函数模型 y＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1) 对数函数模型 y＝mlogax＋n(m，a，n为常数，m≠0，a>0且a≠1) 幂函数模型 y＝axn＋b(a，b，n为常数，a≠0) 分段函数模型 y＝ 微点助解 (1)建立函数模型应把握的三个关口 ①事理关：通过阅读、理解，明白问题讲什么，熟悉实际背景，为解题打开突破口. ②文理关：将实际问题的文字语言转化为数学的符号语言，用数学式子表达数学关系. ③数理关：在构建数学模型的过程中，对已有的数学知识进行检验，从而认定或构建相应的数学问题. (2)有关增长(衰减)率问题 ①初始值为a，增长率为x，增长n次后的表达式是a(1＋x)n. ②熟练应用公式a(1＋x)n，特别是增长(衰减)次数，审清如年初、年底等字眼. [基点训练] 1.已知某工厂12月份的产量是1月份产量的7倍，则该工厂这一年中的月平均增长率是(　 ) A.－1 B. C.－1 D. 解析：选A　设月平均增长率为x,1月份产量为a，则有a(1＋x)11＝7a，则1＋x＝，故x＝－1. 2.某研究小组在一项实验中获得一组关于y，t的数据，将其整理得到如图所示的图形.下列函数中，最能近似刻画y与t之间关系的是(　 ) A.y＝2t B.y＝2t2 C.y＝t3 D.y＝log2t 解析：选D　由题图知，该函数可能是y＝log2t.故选D. 3.据报道，青海湖的湖水在最近50年内减少了10%，如果按此规律，设2022年的湖水量为m，从2022年起，经过x年后湖水量y与x的函数关系式为________. 解析：设每年湖水量为上一年的q%，则(q%)50＝0.9，解得q%＝0.9，即x年后的湖水量为0.9·m. 答案：y＝0.9·m 4.为绿化生活环境，某市开展植树活动.今年全年植树6.4万棵，若植树的棵数每年的增长率均为a，则经过x年后植树的棵数y与x之间的解析式是________，若计划3年后全年植树12.5万棵，则a＝________. 解析：经过x年后植树的棵数y与x之间的解析式是y＝6.4(1＋a)x. 由题意可知6.4(1＋a)3＝12.5，所以(1＋a)3＝，所以1＋a＝，故a＝＝25%. 答案：y＝6.4(1＋a)x　25% 题型(一)　指数函数模型 [典例1]　一片森林原来面积为a，计划每年砍伐一些树，且使森林面积每年比上一年减少p%，10年后森林面积变为.为保护生态环境，所剩森林面积至少要为原面积的.已知到今年为止，森林面积为a. (1)求p%的值； (2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？ (3)今后最多还能砍伐多少年？ [解]　(1)由题意得a(1－p%)10＝，即(1－p%)10＝，解得p%＝1－. (2)设经过m年森林面积为a，则a(1－p%)m＝a，即＝，得＝，解得m＝5. 故到今年为止，已砍伐了5年. (3)从今年开始，n年后森林面积为a·(1－p%)n， 令a(1－p%)n≥a，即(1－p%)n≥，≥，得≤，解得n≤15. 故今后最多还能砍伐15年. [方法技巧] 在实际问题中，有关人口增长、银行复利、细胞分裂等增长率问题常可以用指数型函数模型表示，通常可以表示为y＝N(1＋p)x(其中N为基础数，p为增长率，x为时间)的形式.　　 [针对训练] 1.某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位：℃)满足函数关系y＝ekx＋b(e＝2.718…为自然对数的底数，k，b为常数).若该食品在0 ℃的保鲜时间是192小时，在22 ℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33 ℃的保鲜时间是________小时. 解析：由题意得解得所以当x＝33时，y＝e33k＋b＝(e11k)3eb＝3×192＝24. 答案：24 题型(二)　对数函数模型 [典例2]　2022年11月29日，神舟十五号载人飞船搭载航天员费俊龙、邓清明、张陆飞往中国空间站，与神舟十四号航天员“会师”太空.近年来，得益于我国先进的运载火箭技术，我国在航天领域取得了巨大成就.据了解，在不考虑空气阻力和地球引力的理想状态下，可以用公式v＝v0·ln计算火箭的最大速度v(m/s)，其中v0(m/s)是喷流相对速度，m(kg)是火箭(除推进剂外)的质量，M(kg)是推进剂与火箭质量的总和，称为“总质比”，已知A型火箭的喷流相对速度为300 m/s. (1)当总质比为800时，利用给