4.5 增长速度的比较(强基课)（Word教参）- 【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学必修第二册（人教B版2019）

4.5　增长速度的比较(强基课—梯度进阶式教学) 课时目标 1.结合现实情境中的具体问题，比较对数函数、一元一次函数、指数函数增长速度的差异. 2.理解“对数增长”“直线上升”“指数爆炸”等术语的现实含义. 1.函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率 (1)定义式：＝. (2)实质：函数值的改变量与自变量的改变量之比. (3)意义：刻画函数值在区间[x1，x2]上变化的快慢. (4)平均变化率的几何意义： 设A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))是曲线y＝f(x)上任意不同的两点，函数y＝f(x)的平均变化率＝＝为割线AB的斜率，如图所示. 微点助解 Δx是变量x2在x1处的改变量，且x2是x1附近的任意一点，即Δx＝x2－x1≠0，但Δx可以为正，也可以为负. 2.三种常见函数模型的增长差异 函数 性质　　 y＝ax(a>1) y＝logax(a>1) y＝kx(k>0) 在(0，＋∞) 上的增减性 单调递增 单调递增 单调递增 图象的变化 随x的增大逐渐变“陡” 随x的增大逐渐趋于稳定 增长速度不变 形象描述 指数爆炸 对数增长 直线上升 增长速度 y＝ax(a>1)的增长速度最终都会大大超过y＝kx(k>0)的增长速度；总存在一个x0，当x>x0时，恒有logax<kx 增长结果 存在一个x0，当x>x0时，有ax>kx>logax [基点训练] 1.已知函数y＝f(x)＝x2＋1，则在x＝2，Δx＝0.1时，Δy的值为(　 ) A.0.40 B.0.41 C.0.43 D.0.44 解析：选B　Δy＝f(x＋Δx)－f(x)＝f(2＋0.1)－f(2)＝2.12＋1－(22＋1)＝0.41. 2.函数y＝2x在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为(　 ) A.x0＋Δx B.1＋Δx C.2＋Δx D.2 解析：选D　由题意，可得平均变化率＝＝2. 3.某地西红柿从2月1日起开始上市.通过市场调查，得到西红柿种植成本Q(单位：元/100 kg)与上市时间t(单位：天)的数据如下表： 时间t 50 120 150 种植成本Q 2 600 500 2 600 由表知，体现Q与t数据关系的最佳函数模型是(　 ) A.Q＝at＋b B.Q＝at2＋bt＋c C.Q＝at D.Q＝alogbt 解析：选B　由提供的数据知，描述西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系函数不可能是常数函数，也不是单调函数；而A、C、D对应的函数，在a≠0时，均为单调函数，这与表格提供的数据不吻合.故选B. 题型(一)　平均变化率的计算与比较 [典例1]　计算函数y＝log3x在区间[1,2]与[2,3]上的平均变化率，并以此说明函数值变化的规律. [解]　因为＝，所以y＝log3x在区间[1,2]上的平均变化率为＝log32.在区间[2,3]上的平均变化率为＝log3， 因为函数y＝log3x在区间[1,2]与[2,3]上均是增函数. 又log32>log3，所以函数值y增加的速度越来越慢. [方法技巧] 平均变化率的大小比较方法 (1)先求平均变化率＝. (2)对平均变化率化简后比较大小，在区间长度不变的条件下，平均变化率变大，说明函数增长变化也越快.　　 [针对训练] 1.函数f(x)＝x2在x0到x0＋Δx之间的平均变化率为k1，在x0－Δx到x0之间的平均变化率为k2，则k1，k2的大小关系是(　 ) A.k1<k2 B.k1>k2 C.k1＝k2 D.无法确定 解析：选D　因为k1＝＝2x0＋Δx，k2＝＝2x0－Δx，又Δx可正可负且不为零，所以k1，k2的大小关系不确定. 题型(二)　函数增长速度的比较 [典例2]　已知a>1，则下列命题中正确的是(　 ) A.∃x0，∀x>x0，有ax>xa>logax成立 B.∃x0，∀x>x0，有ax>logax>xa成立 C.∃x0，∀x>x0，有xa>ax>logax成立 D.∃x0，∀x>x0，有xa>logax>ax成立 [解析]　因为a>1，所以函数y＝ax，y＝xa，y＝logax均为单调递增函数. 而且各类函数的增长速度为指数函数快于幂函数，幂函数快于对数函数. 所以∃x0，∀x>x0，有ax>xa>logax成立. [答案]　A [方法技巧] 常见的函数模型及增长特点 (1)线性函数模型 线性函数模型y＝kx＋b(k>0)的增长特点是“直线上升”，其增长速度不变. (2)指数函数模型 指数函数模型y＝ax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快，即增长速度急剧，形象地称为“指数爆炸”. (3)对数函数模型 对数函数模型y＝logax(a>1)的增长