4.4 幂函数(强基课)（Word教参）- 【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学必修第二册（人教B版2019）

得x>4. 答案：(4，＋∞) 15.我们知道当a>0时，am＋n＝am·an对一切m，n∈R恒成立，某同学在进一步研究指数幂运算时，发现有这么一个等式21＋1＝21＋21，带着好奇，他进一步对2m＋n＝2m＋2n进行深入研究. (1)当m＝2时，求n的值； (2)当m≤0时，求证：n是不存在的； (3)求证：只有一对正整数对(m，n)使得等式成立. 解：(1)当m＝2时，22＋n＝22＋2n，即3·2n＝4，所以n＝log2. (2)证明：设t＝2m，因为m≤0，所以t＝2m∈(0,1].又t·2n＝t＋2n， 当m＝0时，t＝1，t·2n＝t＋2n不成立；当m≠0时，t<1，由t·2n＝t＋2n可得2n＝. 因为2n>0，t>0，t－1<0，所以2n＝不成立.综上所述，当m≤0时，n是不存在的. (3)证明：由2m＋n＝2m＋2n可得2n＝. 当m，n均为正整数时，等号左侧为2的指数幂，故右侧也是2的指数幂， 所以2m－1＝1，即m＝1时符合题意，此时n＝1. 所以只有一对正整数对(1,1)使得等式成立. 4.4　幂函数(强基课—梯度进阶式教学) 课时目标 1.通过具体实例，结合y＝x，y＝，y＝x2，y＝，y＝x3的图象，理解它们的变化规律，了解幂函数. 2.了解幂函数的概念，掌握y＝xα的图象与性质. 3.本节课的难点理解和掌握幂函数在第一象限的分类特征，能运用数形结合的方法处理幂函数的有关问题. 1.幂函数的概念 一般地，函数y＝xα称为幂函数，其中α为常数. 微点助解 判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y＝xα(α为常数)的形式，满足： (1)指数为常数；(2)底数为自变量；(3)底数系数为1.形如y＝(3x)α，y＝2xα，y＝xα＋5，…形式的函数都不是幂函数. 2.幂函数的图象与性质 (1)幂函数的图象 在同一平面直角坐标系中，幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x，y＝x－1的图象如图. (2)五个幂函数的性质 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x y＝x－1 定义域 R R R [0，＋∞) {x|x≠0} 值域 R [0，＋∞) R [0，＋∞) {y|y≠0} 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶函数 奇函数 单调性 在R上 是增函数 在[0，＋∞)上是增函数，在(－∞，0]上是减函数 在R上是增函数　 在[0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数，在(－∞，0)上是减函数　 公共点 (1,1) (3)幂函数y＝xα随着α的不同，定义域，值域，奇偶性，单调性也不尽相同，要根据α的值判断. 微点助解 (1)所有的幂函数在区间(0，＋∞)上都有定义，因此在第一象限内都有图象，并且图象都经过点(1,1).在第四象限内都没有图象.在第二、三象限内的图象可由函数的奇偶性画出. (2)当α＞0时，幂函数的图象都经过(0,0)和(1,1)点，在第一象限内，当0＜α＜1时，曲线上凸；当α＞1时，曲线下凸；并且在区间[0，＋∞)上单调递增. (3)当α＜0时，幂函数的图象都经过(1,1)点，在第一象限内，曲线下凸.并且在区间(0，＋∞)上单调递减. (4)在x＝1右侧，幂函数y＝xα的指数α从下向上看递增，即“指大图高”“指小图低”. [基点训练] 1.下列所给的函数是幂函数的为(　 ) A.y＝2x5 B.y＝x3＋1 C.y＝x－3 D.y＝3x 解析：选C　选项C符合y＝xα的形式，对于A，系数不为1，B中含有常数项，而D不符合y＝xα的形式. 2.设α∈，则使函数y＝xα的定义域为R且为奇函数的所有α值为(　 ) A.1,3 B.－1,1 C.－1,3 D.－1,1,3 解析：选A　可知当α＝－1,1,3时，y＝xα为奇函数.又因为y＝xα的定义域为R，则α＝1,3. 3.3.17－1与3.71－1的大小关系为________. 解析：∵幂函数y＝x－1在(0，＋∞)上单调递减， ∴3.17－1>3.71－1. 答案：3.17－1>3.71－1 题型(一)　幂函数的概念及应用 [典例1]　(1)(多选)下列函数为幂函数的是(　 ) A.y＝2x B.y＝x0 C.y＝(x＋1)2 D.y＝x－1 (2)已知幂函数y＝(m2－3m＋3)xm2－m的图象不过原点，则实数m的值为(　 ) A.1 B.2 C.－2 D.1或2 [解析]　(1)由幂函数的定义知，函数y＝x0，y＝x－1为幂函数. (2)∵函数y＝(m2－3m＋3)xm2－m是幂函数， ∴m2－3m＋3＝1，解得m＝1或m＝2. 当m＝1时，y＝x0，图象不过原点，符合题意； 当m＝2时，y＝x2，图象过原点，不符合题意.