4.3板块综合融会 指、对函数图象与性质的综合(习题课)（Word教参）- 【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学必修第二册（人教B版2019）

板块综合融会　指、对函数图象与性质的综合(习题课—小结评价式教学) [建构知识体系] [融通学科素养] 1.浸润的核心素养 (1)通过指数、对数运算性质的学习与运用，重点提升数学运算素养. (2)通过作指数函数、对数函数的图象以及简单图象的平移翻折变换，提升直观想象和逻辑推理素养. (3)通过对指数函数、对数函数的图象及性质的运用，重点提升数学运算和逻辑推理素养. 2.渗透的数学思想 (1)涉及数形结合思想的题目类型有知式选图，图象变换和指数函数、对数函数图象的应用.函数图象形象地展示了函数的性质，为研究函数的性质提供了形象的直观性，它是探求解题路径，获得问题结果的重要工具. (2)常见的分类讨论有两种：一是当指数函数、对数函数的底数为字母参数时，要确定它的单调性需要讨论；二是含参数的不等式、方程，由于参数的取值不同会导致所得的结果不同，需要分类讨论. 融通点(一)　指数、对数函数的图象及应用 [典例1]　已知a>0，且a≠1，则函数f(x)＝ax和g(x)＝loga的图象只可能是(　 ) [解析]　函数g(x)的定义域是(－∞，0)，排除A、B；若0<a<1，则f(x)＝ax是减函数，此时g(x)＝loga是减函数，C、D都不满足；若a>1，则f(x)＝ax是增函数，此时g(x)＝loga是增函数，C满足. [答案]　C [方法技巧] 指数函数、对数函数图象既是直接考查的对象，又是数形结合求交点、最值、解不等式的工具，所以要能熟练画出这两类函数图象，并会进行平移、对称、翻折等变换.　　　 [针对训练] 1.当0<x≤时，4x<logax，则实数a的取值范围是(　 ) A. B. C.(1，) D.(，2) 解析：选B　易知0<a<1，则函数y＝4x与y＝logax的图象大致如图所示，只需满足loga>4＝2即可，解得a>.所以<a<1.故选B. 2.已知函数f(x)＝直线y＝a与函数f(x)的图象恒有两个不同的交点，则a的取值范围是________. 解析：函数f(x)的图象如图所示， 要使直线y＝a与函数f(x)的图象有两个不同的交点，则0<a≤1. 答案：(0,1] 融通点(二)　解不等式、比较大小问题 [典例2]　(1)已知a＝0.20.3,2b＝0.3，c＝log0.30.2，则a，b，c的大小关系是(　 ) A.c＞b＞a B.c＞a＞b C.b＞a＞c D.a＞c＞b (2)设0<a<1，函数f(x)＝loga(a2x－2ax－2)，则使f(x)<0的x的取值范围是(　 ) A.(－∞，0) B.(0，＋∞) C.(－∞，loga3) D.(loga3，＋∞) [解析]　(1)因为y＝0.2x在R上单调递减，所以0＜0.20.3＜0.20＝1.所以0＜a＜1.又2b＝0.3且y＝log2x在(0，＋∞)上单调递增，所以b＝log20.3＜log21＝0.所以b＜0.又y＝log0.3x在(0，＋∞)上单调递减，所以log0.30.2＞log0.30.3＝1.所以c＞1.综上可知，c＞a＞b.故选B. (2)由已知得f(x)＝loga(a2x－2ax－2)<0＝loga1.又当0<a<1时，函数y＝logax在(0，＋∞)上单调递减，得a2x－2ax－2>1，即a2x－2ax－3>0，(ax－3)·(ax＋1)>0.因为ax＋1>0，所以ax>3.又0<a<1，所以x<loga3.故选C. [答案]　(1)B　(2)C [方法技巧] 方程、不等式的求解可利用单调性进行转化，对含参数的问题要进行分类讨论，同时还要注意变量本身的取值范围，以免出现增根；比较大小问题可直接利用单调性和中间值解决.　　 [针对训练] 3.若0<x<y<1，则(　 ) A.3y<3x B.logx3<logy3 C.log4x<log4y D.x<y 解析：选C　对于A，函数y＝3x在R上单调递增，因为0<x<y<1，故3x<3y，A错误；对于B，根据底数a对对数函数y＝logax的影响：当0<a<1时，在x∈(1，＋∞)上“底小图高”.因为0<x<y<1，所以logx3>logy3，B错误；对于C，函数y＝log4x在(0，＋∞)上单调递增，故log4x<log4y，C正确；对于D，函数y＝x在R上单调递减，故x>y，D错误. 4.已知函数f(x)＝lg(2x－b)(b为常数)，若x∈[1，＋∞)时，f(x)≥0恒成立，则b的取值范围是________. 解析：因为要使f(x)＝lg(2x－b)在x∈[1，＋∞)时，恒有f(x)≥0，所以有2x－b≥1在x∈[1，＋∞)时恒成立，即2x≥b＋1在x∈[1，＋∞)上恒成立.又因为指数函数g(x)＝2x在定义域上是增函数.所以只需2≥b＋1成立即可，解