4.3 指数函数与对数函数的关系(概念课)（Word教参）- 【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学必修第二册（人教B版2019）

4.3　指数函数与对数函数的关系 (概念课—逐点理清式教学) 课时目标　 1.了解反函数的概念，知道指数函数和对数函数互为反函数，弄清它们的图象间的对称关系.　　　　　 2.会求简单函数的反函数. 3.利用指数、对数函数的图象性质解决一些简单问题. 逐点清(一)　反函数的概念 [多维度理解] 1.反函数的定义 一般地，如果在函数y＝f(x)中，给定值域中任意一个y的值，只有唯一的x与之对应，那么x是y的函数，这个函数称为y＝f(x)的反函数.此时，称y＝f(x)存在反函数. 2.反函数的记法 函数y＝f(x)的反函数记作y＝f－1(x). 微点助解 (1)反函数图象的关系 ①同底的指数函数与对数函数互为反函数. ②互为反函数的两个函数图象关于y＝x对称. (2)判定存在反函数的方法 ①用定义：若函数y＝f(x)值域中任意一个y的值，在定义域中有唯一的x与之对应，则此函数的反函数存在，否则，反函数不存在. ②用单调性：若函数y＝f(x)在定义域上单调，则它的反函数存在. [细微点练明] 1.判断正误(正确的划“√”，错误的划“×”) (1)任意一个函数都有反函数.(　 ) (2)y＝2x与y＝log3x互为反函数.(　 ) (3)若函数y＝f(x)是单调函数，则y＝f(x)一定存在反函数.(　 ) 答案：(1)×　(2)×　(3)√ 2.函数f(x)＝x2－2ax－3在区间[1,2]上存在反函数，则实数a的取值范围是(　 ) A.(－∞，1] B.[2，＋∞) C.(－∞，1]∪[2，＋∞) D.[1,2) 解析：选C　因为二次函数f(x) ＝x2－2ax－3不是定义域内的单调函数，但在其定义域的子区间(－∞，a]或[a，＋∞)上是单调函数，而已知函数f(x)在区间[1,2]上存在反函数，所以[1,2]⊆(－∞，a]或[1,2] ⊆ [a，＋∞)，即a≤1或a≥2.故选C. 3.判定下列函数的反函数是否存在？ (1) x 1 2 3 4 5 g(x) －1 0 1 －2 5 (2)函数y＝f(x)的图象是如图所示的三点A，B，C. 解：(1)因为对g(x)的值域{－1,0,1，－2,5}中任意一个值，都只有唯一的x与之对应，因此g(x)的反函数g－1(x)存在. (2)由y＝f(x)的图象知，当y＝1时，与之对应的x＝－1或x＝3，即与y＝1对应的x的值不唯一，所以此函数的反函数不存在. 逐点清(二)　求反函数 [多维度理解] 1.求反函数的两种方法 (1)用y表示出x，然后写出反函数的形式； (2)x，y先互换，然后用x表示出y即可. 2.求反函数的注意点 (1)求反函数时，要先确定原函数的值域. (2)求出反函数后要注明反函数的定义域. [细微点练明] 1.函数y＝e2x－1的反函数为________. 解析：因为y＝e2x－1，所以y>0，ln y＝2x－1， 则x＝＋ln y. 由x，y互换，得y＝＋ln x(x>0)， 所以函数y＝e2x－1的反函数为y＝＋ln x(x>0). 答案：y＝＋ln x(x>0) 2.函数f(x)＝ln(x>1)的反函数f－1(x)＝________. 解析：因为x>1,0<<1,1<＋1<2，所以y＝f(x)∈(0，ln 2). 由y＝ln，得x＝， 交换x，y得y＝，所以f－1(x)＝，x∈(0，ln 2). 答案：，x∈(0，ln 2) 3.求下列函数的反函数： (1)f(x)＝＋1(x≥0)； (2)f(x)＝(x≠1). 解：(1)令y＝＋1，x≥0，∴y≥1且x＝(y－1)2. ∴f(x)＝＋1(x≥0)的反函数为f－1(x)＝(x－1)2，x∈[1，＋∞). (2)令y＝＝，∴y＝2＋. ∴y≠2且x＝. ∴f(x)＝(x≠1)的反函数为f－1(x)＝，x∈(－∞，2)∪(2，＋∞). 逐点清(三)　互为反函数的图象与性质的应用　 [多维度理解] 1.反函数的性质 (1)y＝f(x)的定义域与y＝f－1(x)的值域相同，y＝f(x)的值域与y＝f－1(x)的定义域相同，y＝f(x)与y＝f－1(x)的图象关于直线y＝x对称. (2)如果y＝f(x)是单调函数，那么它的反函数y＝f－1(x)一定存在，此时，如果y＝f(x)是增函数，则y＝f－1(x)也是增函数；如果y＝f(x)是减函数，则y＝f－1(x)也是减函数. 2.指数函数与对数函数的关系 (1)指数函数y＝ax与对数函数y＝logax(a>0且a≠1)互为反函数. (2)指数函数y＝ax与对数函数y＝logax(a>0且a≠1)的图象关于直线y＝x对称. 微点助解 (1) 原函数与反函数定义域与值域的关系. (2)互为反函数的两个函数在相应区间上的单调性一致. (3)互为反函数的