4.2.3 第2课时 对数函数性质与图象的应用(深化课)（Word教参）- 【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学必修第二册（人教B版2019）

第 2 课时　对数函数性质与图象的应用(深化课—题型研究式教学) 课时目标 1.进一步理解对数函数的性质与图象.　　 2.会比较对数值大小及解简单的对数不等式. 3.会求对数型函数的单调区间及判断对数函数的单调性. 题型(一)　比较大小问题 [典例1]　比较下列各组数的大小. (1)log与log； (2)log3与log3； (3)loga2与loga3. [解]　(1)y＝logx在(0，＋∞)上单调递减， 因为＜，所以log＞log. (2)法一：log3－log3＝－＝. ∵y＝lg x是增函数，∴lg<lg<0<lg 3. ∴log3－log3<0.∴log3<log3. 法二：因为在x∈(1，＋∞)上，y＝logx的图象在y＝logx图象的上方，所以log3＜log3. (3)当a＞1时，y＝logax为增函数，所以loga2＜loga3； 当0＜a＜1时，y＝logax为减函数，所以loga2＞loga3. [方法技巧] 比较对数值大小的常用方法 (1)同底数的利用对数函数的单调性. (2)同真数的利用对数函数的图象或用换底公式转化. (3)底数和真数都不同，找中间量. [提醒]　比较数的大小时先利用性质比较出与0或1的大小.　　 [针对训练] 1.已知实数a＝log45，b＝0，c＝log30.4，则a，b，c的大小关系为(　 ) A.b＜c＜a B.b＜a＜c C.c＜a＜b D.c＜b＜a 解析：选D　由题知，a＝log45＞1，b＝0＝1，c＝log30.4＜0，故c＜b＜a. 2.已知logm＜logn＜0，则(　 ) A.n＜m＜1 B.m＜n＜1 C.1＜m＜n D.1＜n＜m 解析：选D　因为0＜＜1，logm＜logn＜0，所以m＞n＞1.故选D. 题型(二)　解对数不等式 [典例2]　若－1<loga<1(a>0且a≠1)，求实数a的取值范围. [解]　∵－1<loga<1，∴loga<loga<logaa. 当a>1时，0<<<a，则a>； 当0<a<1时，>>a>0，则0<a<. 故实数a的取值范围是∪. [方法技巧] 两类对数不等式的解法 (1)形如logaf(x)<logag(x)的不等式. 分类讨论a，转化为f(x)与g(x)的大小关系. (2)形如logaf(x)<b的不等式可变形为logaf(x)<b＝logaab. ①当0<a<1时，可转化为f(x)>ab； ②当a>1时，可转化为0<f(x)<ab.　　 [针对训练] 3.设P＝log23，Q＝log2，R＝log2，则(　 ) A.R<Q<P B.P<R<Q C.Q<R<P D.R<P<Q 解析：选A　由函数y＝log2x在(0，＋∞)上单调递增，且3>>，所以P>Q>R.故选A. 4.不等式log2(2－x)≤log2(3x＋6)的解集为________.　 解析：因为log2(2－x)≤log2(3x＋6)， 所以所以－1≤x<2， 所以不等式log2(2－x)≤log2(3x＋6)的解集为[－1，2). 答案：[－1,2) 题型(三)　对数型函数的单调性问题 [典例3]　(多选)关于函数y＝log0.4(－x2＋3x＋4)，下列说法正确的是(　 ) A.定义域为(－1,4) B.最大值为2 C.最小值为－2 D.单调递增区间为 [解析]　令－x2＋3x＋4＞0，得－1＜x＜4，即函数y＝log0.4(－x2＋3x＋4)的定义域为(－1,4)，故A正确；∵－x2＋3x＋4＝－2＋，∴－x2＋3x＋4∈，∴y＝log0.4(－x2＋3x＋4)∈[－2，＋∞)，故B错误，C正确；令t＝－x2＋3x＋4，则其在内单调递增，在内单调递减，又y＝log0.4t在(0，＋∞)上单调递减，由复合函数的单调性得y＝log0.4(－x2＋3x＋4)的单调递增区间为，故D正确. [答案]　ACD [方法技巧] 形如f(x)＝logag(x)(a>0，且a≠1)的函数的单调区间的求法 (1)先求g(x)>0的解集(也就是函数f(x)的定义域). (2)当底数a>1时，在g(x)>0这一前提下，g(x)的单调递增区间是f(x)的单调递增区间；g(x)的单调递减区间是f(x)的单调递减区间. (3)当底数0<a<1时，在g(x)>0这一前提下，g(x)的单调递增区间是f(x)的单调递减区间，g(x)的单调递减区间是f(x)的单调递增区间. [针对训练] 5.函数f(x)＝log(－x2＋2x＋3)的单调递增区间是(　 ) A.(1,3) B.(1，＋∞) C.(－1,1) D.(－∞，1) 解析：选A　函数分成内外层函数y＝logt，t＝－x2＋2x＋3＞0，但内外层函数单调性一致时，函数单调递增，此时