4.2.3 第1课时 对数函数的概念、性质与图象(强基课)（Word教参）- 【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学必修第二册（人教B版2019）

4.2.3　对数函数的性质与图象 第 1 课时　对数函数的概念、性质与图象(强基课—梯度进阶式教学) 课时目标 1.类比指数函数来学习对数函数，会求与对数函数有关的定义域问题. 2.初步掌握对数函数的性质和图象，类比指数函数研究对数函数的性质. 1.对数函数的定义 一般地，函数y＝logax称为对数函数，其中a是常数，a>0且a≠1. 2.对数函数的图象和性质 a>1 0<a<1 图象 性 质 定义域 定义域为(0，＋∞)，图象在y轴的右边 值域 值域为R 过定点 过定点(1,0)，即x＝1时，y＝0 函数值 的变化 当0<x<1时，y<0， 当x>1时，y>0 当0<x<1时，y>0， 当x>1时，y<0 单调性 增函数 减函数 对称性 y＝logax与y＝logx的图象关于x轴对称 微点助解 (1)注意点：讨论对数函数的性质时，若底数a的大小不确定，必须分a＞1和0＜a＜1两种情况进行讨论. (2)图象的特点：函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象无限靠近y轴，但永远不会与y轴相交；在同一坐标系内，y＝logax(a>0，且a≠1)的图象与y＝logx(a>0，且a≠1)的图象关于x轴(即直线y＝0)对称. (3)底数对图象的影响：比较图象与y＝1的交点，此时y＝1与对数函数图象交点的坐标为(a,1).交点的横坐标越大，对应的对数函数的底数越大，即沿着直线y＝1由左向右看，底数a增大(如图). [基点训练] 1.判断正误(正确的划“√”，错误的划“×”) (1)函数y＝2log3x是对数函数.(　 ) (2)函数y＝log2x－1是对数函数.(　 ) (3)y＝log4是对数函数.(　 ) 答案：(1)×　(2)×　(3)× 2.函数y＝log2(x－2)的定义域是(　 ) A.(0，＋∞) B.(1，＋∞) C.(2，＋∞) D.[4，＋∞) 解析：选C　由题意知x－2>0，解得x>2. 3.若函数f(x)＝2loga(2－x)＋3(a>0，且a≠1)的图象过定点P，则点P的坐标是________. 解析：令2－x＝1，即x＝1，得y＝2loga1＋3＝3，故点P的坐标为(1,3). 答案：(1,3) 题型(一)　对数函数的概念 [典例1]　(1)下列函数是对数函数的是(　 ) A.y＝logx2 B.y＝log3(x－1) C.y＝log(x＋1)x D.y＝logex (2)若函数f(x)＝(a2＋a－5)logax是以a为底数的对数函数，则f等于(　 ) A.3 B.－3 C.－log36 D.－log38 [解析]　(1)A，B不是对数函数，因为对数的真数不是仅有自变量x；C不是对数函数，因为对数的底数不是常数；D是对数函数. (2)因为函数f(x) 为对数函数， 所以函数f(x)系数为1，即a2＋a－5＝1，即a＝2或－3. 因为对数函数底数大于0，所以a＝2，f(x)＝log2x，所以f＝－3. [答案]　(1)D　(2)B [方法技巧] 判断一个函数是对数函数的方法 　　 [针对训练] 1.设f(x)＝logax(a＞0，且a≠1)，若f(2)＝，则f＝(　 ) A.2　　　B.－2　　　C.－　　　D. 答案：C 2.已知对数函数f(x)的图象过点P(8,3)，则f＝____________. 解析：设对数函数f(x)＝logax(a>0，且a≠1)， ∵f(x)的图象过点P(8,3)，∴3＝loga8，∴a3＝8，即a＝2.∴f(x)＝log2x.∴f＝log2＝log22－5＝－5. 答案：－5 题型(二)　简单的对数函数的图象问题 [典例2]　(1)函数y＝lg(x＋1)的图象大致是　(　 ) 　　　　　 (2)已知f(x)＝|log3x|，若f(a)＞f(2)，则a的取值范围为______________. [解析]　(1)因为y＝lg x过点(1,0)，函数单调递增，将其向左平移一个单位长度可得y＝lg(x＋1)过点(0,0)，函数单调递增.故选C. (2)作出函数f(x)的图象，如图所示.由于f(2)＝f，故结合图象可知，当f(a)＞f(2)时，a的取值范围为∪(2，＋∞). [答案]　(1)C　(2)∪(2，＋∞) [方法技巧] 对数函数的底数a决定了图象的位置及变化趋势，在同一坐标系中画出多个对数函数图象时， (1)上下比较：在直线x＝1的右侧.a＞1时，a越大，图象越靠近x轴，0＜a＜1时，a越小，图象越靠近x轴. (2)左右比较：(比较图象与y＝1的交点)交点的横坐标越大，对应的对数函数的底数越大.　　 [针对训练] 3.如图所示，曲线是对数函数y＝logax的图象，已知a