4.1.2 第2课时 指数函数性质与图象的应用(深化课)（Word教参）- 【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学必修第二册（人教B版2019）

第 2 课时　指数函数性质与图象的应用(深化课—题型研究式教学) 课时目标 1.进一步熟练掌握指数函数的性质与图象，会求指数型函数的定义域和值域. 2.能利用指数函数的性质与图象解不等式. 3.掌握指数型函数单调区间的求法及单调性的判断. 题型(一)　指数型函数的定义域、值域问题 [典例1]　求下列函数的定义域和值域： (1)y＝2；(2)y＝－|x|； (3)y＝. [解]　(1)由已知得x应满足x－1≠0，∴x≠1. ∴定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞). ∵≠0，∴2≠1. ∴y＝2的值域为(0,1)∪(1，＋∞). (2)定义域为R. ∵|x|≥0，∴y＝－|x|＝|x|≥0＝1. ∴此函数的值域为[1，＋∞). (3)由题意知1－x≥0，∴x≤1＝0. ∴x≥0.故定义域为[0，＋∞). ∵x≥0，∴x≤1. ∵x＞0，∴0＜x≤1. ∴0≤1－x＜1. ∴0≤y＜1.∴此函数的值域为[0,1). [方法技巧] 函数y＝af(x)定义域、值域的求法 (1)定义域的求法： 函数y＝af(x)的定义域与y＝f(x)的定义域相同. (2)值域的求法： ①换元，令t＝f(x)； ②求t＝f(x)的定义域x∈D； ③求t＝f(x)的值域t∈M； ④利用y＝at的单调性求y＝at，t∈M的值域.　　 [针对训练] 1.求函数y＝的定义域、值域. 解：要使函数有意义，则x应满足32x－1－≥0， 即32x－1≥3－2. ∵y＝3x在R上是增函数，∴2x－1≥－2. 解得x≥－. 故所求函数的定义域为. 当x∈时，32x－1∈， ∴32x－1－∈[0，＋∞).∴原函数的值域为[0，＋∞). 题型(二)　指数型函数的单调性 [典例2]　(1)求函数y＝ x2－6x＋17的单调区间； (2)求函数y＝2x－8·x＋17的单调区间. [解]　(1)y＝ x2－6x＋17的定义域为R. 在(－∞，3]上，y＝x2－6x＋17是减函数， 所以y＝ x2－6x＋17在(－∞，3]上是增函数. 在(3，＋∞)上，y＝x2－6x＋17是增函数， 所以y＝ x2－6x＋17在(3，＋∞)上是减函数. 所以y＝ x2－6x＋17的单调递增区间是(－∞，3]，单调递减区间是(3，＋∞). (2)y＝2x－8·x＋17的定义域为R. 设t＝x，t>0， 则y＝t2－8t＋17，在(0,4]上单调递减，在(4，＋∞)上单调递增. 令x≤4，得x≥－2.所以当－2≤x1<x2时，4≥x1>x2， 即4≥t1>t2，所以t－8t1＋17<t－8t2＋17. 所以y＝2x－8·x＋17的单调递增区间是[－2，＋∞). 同理可得函数的单调递减区间是(－∞，－2). [方法技巧] (1)对于求形如f(x)＝ma2x＋max＋q(m≠0，a＞0，且a≠1)的函数的单调性，往往通过换元设t＝ax，然后结合二次函数与指数函数的单调性，进行判断. (2)对于求形如f(x)＝aφ(x)(a＞0，且a≠1)的函数的单调性，往往通过换元设t＝φ(x)，然后结合函数t＝φ(x)与指数函数y＝at(a＞0，且a≠1)的单调性，进行判断.　　 [针对训练] 2.已知函数f(x)＝2|2x－m|(m为常数)，若f(x)在区间[2，＋∞)上单调递增，则m的取值范围是________. 解析：令t＝|2x－m|，则t＝|2x－m|在区间上单调递增，在区间上单调递减.而y＝2t在R上单调递增，所以要使函数 f(x)＝2|2x－m|在[2，＋∞)上单调递增，则有≤2，即m≤4，所以m的取值范围是(－∞，4]. 答案：(－∞，4] 3.求下列函数的单调区间. (1)y＝ax2＋2x－3(a>0且a≠1)； (2)y＝. 解：(1)易知y＝a x2＋2x－3 (a>0且a≠1)的定义域为R，设y＝au，u＝x2＋2x－3， 由u＝x2＋2x－3＝(x＋1)2－4， 得u在(－∞，－1]上为减函数，在(－1，＋∞)上为增函数. 当a>1时，y关于u为增函数； 当0<a<1时，y关于u为减函数， 所以当a>1时，原函数的单调递增区间为(－1，＋∞)，单调递减区间为(－∞，－1]； 当0<a<1时，原函数的单调递增区间为(－∞，－1]，单调递减区间为(－1，＋∞). (2)已知函数y＝的定义域为{x|x≠0}. 设y＝，u＝0.2x，易知u＝0.2x为减函数. 而根据y＝的图象可知在区间(－∞，1)和(1，＋∞)上，y是关于u的减函数，所以原函数的单调递增区间为(－∞，0)和(0，＋∞). 题型(三)　解指数不等式 [典例3]　(1)解不等式3x－1≤2； (2)已知ax2－3x＋1<ax＋6(a>0，且a≠1)，求x的取值范围. [解]　(1)∵2＝－1， ∴原不等式可以转化为3x－1≤－1.