4.1.2 第1课时 指数函数的概念、性质与图像（讲解Word）2021-2022学年新教材高中数学必修第二册【赢在微点】轻松课堂（人教B版）

4．1.2　指数函数的性质与图像 第1课时　指数函数的概念、性质与图像 课程 标准 1.理解指数函数的概念与意义，掌握指数函数的定义域、值域的求法； 2．能画出具体指数函数的图像，并能根据指数函数的图像说明指数函数的性质； 3．掌握指数函数的性质并会应用，能利用指数函数的单调性比较幂的大小。 稳健启程　　新知初步构建 自主预习案明新知 知识点一、指数函数的概念 一般地，函数y＝ax称为指数函数，其中a是常数，a>0且a≠1。 微思考　指数函数中为何要规定“a>0且a≠1”？ 提示：①如果a＝0，当x>0时，ax恒等于0，没有研究的必要；当x≤0时，ax无意义。 ②如果a<0，例如f (x)＝(－4)x，这时对于x＝，，…，该函数无意义。 ③如果a＝1，则y＝1x是一个常量，没有研究的价值。为了避免上述各种情况，所以规定a>0且a≠1。 知识点二、指数函数的图像和性质 a>1 0<a<1 图像 性 质 定义域 R 值域 (0，＋∞) 过定点 (0,1)，即当x＝0时，y＝ 1 单调性 在R上是增函数 在R上是减函数 奇偶性 非奇非偶函数 根据指数函数y＝ax(a>0且a≠1)的图像恒过点(0,1)，(1，a)，的特征，只要确定了三点的坐标，即可快速地画出指数函数y＝ax(a>0且a≠1)的图像。 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)y＝3x－1是指数函数。(×) (2)指数函数的图像一定在x轴的上方。(√) (3)已知函数f (x)＝3x，若m>n，则f (m)>f (n)。(√) (4)函数y＝x是减函数。(√) 2．做一做 (1)下列函数一定是指数函数的是(　　) A．y＝2x＋1 B．y＝x3 C．y＝3×2x D．y＝3－x (2)指数函数y＝ax与y＝bx的图像如图所示，则(　　) A．a<0，b<0 B．a<0，b>0 C．0<a<1，b>1 D．0<a<1,0<b<1 (3)若函数f (x)＝ax(a>0且a≠1)的图像过点，则f (x)＝ 。 (4)函数f (x)＝ax－1(a>0且a≠1)的图像恒过定点 。 (5)函数y＝x－1的值域是 。 答案　(1)D　(2)C　(3)x　(4)(1,1)　(5)(－1，＋∞) 细研深究　　萃取知识精华 合作探究案攻重难 类型一 指数函数的概念 【例1】　(1)下列函数中是指数函数的是 。(填序号) ①y＝2×()x；②y＝2x－1；③y＝x。 解析　①中指数式()x的系数不为1，故不是指数函数；②中y＝2x－1＝×2x，指数式2x的系数不为1，故不是指数函数；③是指数函数。 答案　③ (2)函数f (x)＝(m2－m＋1)ax(a>0且a≠1)是指数函数，则m＝ 。 解析　因为f (x)为指数函数，所以m2－m＋1＝1，m＝0或m＝1。 答案　0或1 (1)判断一个函数是指数函数的方法 ①看形式：只需判断其解析式是否符合y＝ax(a>0且a≠1)这一结构特征。 ②明特征：看是否具备指数函数解析式具有的三个特征。只要有一个特征不具备，则该函数不是指数函数。 (2)已知某函数是指数函数求参数值的方法 ①令底数大于0且不等于1，系数等于1列出不等式与方程。 ②解不等式与方程求出参数的值。 提醒：要特别注意底数大于0且不等于1这一隐含条件。 【变式训练】　(1)若函数y＝(a2－3a＋3)ax是指数函数，则a＝ 。 解析　由y＝(a2－3a＋3)ax是指数函数，可得解得所以a＝2。 答案　2 (2)若指数函数f (x)的图像经过点(2,9)，求f (x)的解析式及f (－1)的值。 解　设f (x)＝ax(a>0，且a≠1)，将点(2,9)代入，得a2＝9，解得a＝3或a＝－3(舍去)。 所以f (x)＝3x。 所以f (－1)＝3－1＝。 类型二 与指数函数相关的函数的定义域、值域问题 【例2】　(1)求下列函数的定义域与值域： ①y＝2；②y＝－|x|；③y＝2； (2)求函数y＝4x－2x＋1－1的值域。 解　(1)①要使有意义，则需要x－4≠0，因而函数y＝2的定义域为{x|x≠4}。 因为x≠4，所以≠0，所以y＝2的值域为{y|y>0且y≠1}。 ②定义域为R。因为|x|≥0，所以y＝－|x|＝|x|≥0＝1，所以此函数的值域为{y|y≥1}。 ③已知函数可化为y＝2，由>0，得x>1。又由>0，得y＝2>1。 所以所求函数的定义域为{x|x>1}，值域为{y|y>1}。 (2)设t＝2x∈(0，＋∞)，函数化为y＝t2－2t－1＝(t－1)2－2，由二次函数的图像及性质，可知函数y＝4x－2x