4.1.2 第1课时 指数函数的概念、性质与图象(强基课)（Word教参）- 【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学必修第二册（人教B版2019）

4.1.2 　指数函数的性质与图象 　　第 1 课时　指数函数的概念、性质与图象 (强基课—梯度进阶式教学) 课时目标　 1.理解指数函数的概念，会判断一个函数是否是指数函数. 2.掌握指数函数的图象与性质.　 3.能利用指数函数的图象与性质比较指数的大小. 1.指数函数的定义 一般地，函数y＝ax称为指数函数，其中a是常数，a>0且a≠1. 微点助解 指数函数解析式的特点 ①底数是大于0且不等于1的常数. ②指数函数的自变量必须位于指数的位置上. ③ax的系数必须为1. ④指数函数等号右边不能是多项式，如y＝2x＋1不是指数函数. 2.指数函数的性质与图象 a>1 0<a<1 图象 性 质 定义域 R 值域 值域为(0，＋∞)，即对任何实数x，都有ax>0 过定点 过定点(0,1)，即x＝0时，y＝1 函数值 的变化 当x>0时，y>1； 当x<0时，0<y<1 当x>0时，0<y<1； 当x<0时，y>1 单调性 在R上是增函数 在R上是减函数 对称性 y＝ax与y＝x的图象关于y轴对称 微点助解 (1)函数图象只出现在x轴上方. (2)当x＝0时，有a0＝1，故指数函数过定点(0,1). (3)当0<a<1时，底数越小，图象越靠近y轴. (4)当a>1时，底数越大，图象越靠近y轴. (5)任意底数互为倒数的两个指数函数的图象关于y轴对称. [基点训练] 1.若函数y＝(a－2)ax是指数函数，则(　 ) A.a＝1或a＝3 B.a＝1 C.a＝3 D.a＞0且a≠1 解析：选C　若函数y＝(a－2)ax是指数函数，则a－2＝1，a＞0，且a≠1，解得a＝3，故选C. 2.函数y＝3－x的图象是(　 ) 答案：B 3.函数y＝ax＋1＋2(a>0且a≠1)的图象恒过定点________. 解析：令x＋1＝0，得x＝－1， 此时y＝1＋2＝3， 即函数y＝ax＋1＋2的图象过定点(－1,3). 答案：(－1,3) 4.函数f(x)＝3x＋1的值域为________. 解析：∵3x>0，∴3x＋1>1，即函数的值域是(1，＋∞). 答案：(1，＋∞) 题型(一)　指数函数的概念及其应用 [典例1]　(1)若函数y＝a2(2－a)x是指数函数，则(　 ) A.a＝1或－1 B.a＝1 C.a＝－1 D.a>0且a≠1 (2)已知函数f(x)是指数函数，且f＝，则f(3)＝________. [解析]　(1)因为函数y＝a2(2－a)x是指数函数，所以即a＝－1. (2)设f(x)＝ax(a>0且a≠1)，由f＝，得a－＝＝＝5－，所以a＝5，即f(x)＝5x.所以f(3)＝53＝125. [答案]　(1)C　(2)125 [方法技巧] 判断指数函数的方法 (1)底数的值是否符合要求. (2)ax前的系数是否为1. (3)指数是否符合要求.　　 [针对训练] 1.给出下列函数：①y＝2·3x；②y＝3x＋1；③y＝3x；④y＝x3；⑤y＝(－2)x；⑥y＝3.其中指数函数的个数是(　 ) A.0 B.1 C.2 D.4 解析：选C　①中，3x的系数是2，故①不是指数函数；②中，y＝3x＋1的指数是x＋1，不是自变量x，故②不是指数函数；③中，3x的系数是1，幂的指数是自变量x，且只有3x一项，故③是指数函数；④中，y＝x3的底数为自变量，指数为常数，故④不是指数函数；⑤中，底数－2<0，不是指数函数；⑥中y＝3＝()x是指数函数. 2.已知指数函数f(x)的图象过点(3，π)，则函数f(x)的解析式为________. 解析：设f(x)＝ax(a>0且a≠1)， 将点(3，π)代入，得到f(3)＝π， 即a3＝π，解得a＝. 所以f(x)＝()x. 答案：f(x)＝()x 题型(二)　指数函数的图象及其应用 [典例2]　(1)下列几个函数的图象如图所示：①y＝ax；②y＝bx；③y＝cx；④y＝dx.则a，b，c，d与0和1的关系是(　 ) A.0<a<b<1<c<d B.0<b<a<1<d<c C.0<b<a<1<c<d D.1<a<b<c<d (2)函数y＝a|x|(a>1)的图象是(　 ) [解析]　(1)由指数函数图象知当底数大于1时为增函数，并且底数越大增加的越快，所以c>d>1.当底数大于0小于1时为减函数，并且底数越小减小的越快，所以1>a>b>0.所以0<b<a<1<d<c. (2)函数y＝a|x|是偶函数，当x>0时，y＝ax. 由已知a>1，所以y＝ax在(0，＋∞)上是增函数. 又当x＝0时，函数y＝a0＝1，即过定点(0,1)，所以B的图象符合. [答案]　(1)B　(2)B [方法技巧] 处理函数图