4.1.1 实数指数幂及其运算(概念课)（Word教参）- 【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学必修第二册（人教B版2019）

第四章　指数函数、对数函数与幂函数 4.1.1 　实数指数幂及其运算(概念课—逐点理清式教学) 课时目标 1.理解n次方根、根式的概念.　　　 2.能正确运用根式运算性质化简求值. 3.掌握根式与分数指数幂的互化.　 4.掌握有理数指数幂的运算性质. 逐点清(一)　n次方根 [多维度理解] 1.a的n次方根 一般地，给定大于1的正整数n和实数a，如果存在实数x，使得xn＝a，则x称为a的n次方根. 2.根式的意义和性质 (1)当有意义的时候，称为根式，n称为根指数，a称为被开方数. (2)根式的性质： ①()n＝a.② ＝ 微点助解 (1)对于()n＝a，若n为奇数，则a∈R；若n为偶数，则a≥0. (2)()n与意义不同，比如＝－3, ＝3，而()4没有意义，故()n≠. (3)当a≥0时，()n＝；当a<0且n为奇数时，()n＝；当a<0且n为偶数时，对于要注意运算次序. [细微点练明] 1.(多选)下列说法正确的是(　 ) A.＝3 B.16的4次方根是±2 C.＝±3 D.＝|x＋y| 解析：选BD　负数的3次方根是一个负数，＝－3，故A错误；16的4次方根有两个，为±2，故B正确；＝3，故C错误；是非负数，所以＝|x＋y|，故D正确. 2.若＋有意义，则a的取值范围是(　 ) A.[0，＋∞) B.[1，＋∞) C.[2，＋∞) D.(－∞，＋∞) 解析：选B　∵∴a≥1. 3.若2<a<3，则 ＋的化简结果是(　 ) A.5－2a B.2a－5 C.1 D.－1 解析：选C　原式＝|2－a|＋|3－a|. ∵2<a<3，∴原式＝a－2＋3－a＝1. 4.计算：＋－ ＝________. 解析：＋－＝－8＋1－(2－)＝－9＋. 答案：－9＋ 逐点清(二)　分数指数幂 [多维度理解] 正分数 指数幂 当a＞0时，规定a＝，a＝()m＝(n，m∈N＋，且为既约分数) 负分数 指数幂 当a＞0时，规定a－＝(n，m∈N＋) 0的分数 指数幂 0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义 微点助解 (1)分数指数幂a不可理解为个a相乘，它是根式的一种写法. (2)正数的负分数指数幂总表示正数，而不是负数. [细微点练明] 1.化简的结果是(　 ) A.x B.x C.x D.x6 解析：选A　利用分数指数幂与根式的互化可得＝x. 2.若(1－2x)－有意义，则x的取值范围是(　 ) A.(－∞，＋∞) B.∪ C. D. 解析：选D　因为(1－2x)－＝， 所以1－2x>0，解得x<. 3.(多选)下列根式与分数指数幂的互化正确的是(　 ) A.－＝(－x) B.＝y(y>0) C.x－＝(x>0) D.[]＝x(x<0) 解析：选BC　－＝－x，A错误；＝y＝y(y>0)，B正确；x－＝＝(x＞0)，C正确；[]＝[(－x)]＝(－x)(x<0)，D错误.故选B、C. 4.把根式化为分数指数幂，把分数指数幂化为根式(式中字母均为正实数). (1)b－；(2)；(3)(a＋b)；(4). 解：(1)b－＝. (2)＝2m－. (3)(a＋b)＝. (4)＝(x3＋y)－. 逐点清(三)　指数幂的运算 [多维度理解] 1.有理数指数幂的运算法则 (1)asat＝as＋t(s，t∈Q)； (2)(as)t＝ast(s，t∈Q)； (3)(ab)s＝asbs(s∈Q). 2.实数指数幂 一般地，当a＞0且t是无理数时，at都是一个确定的实数，有理数指数幂的运算法则对于无理数指数幂同样适用. 因此当a＞0，t为任意实数时，实数指数幂at都有意义，对任意实数s和t，类似前述有理指数幂的运算法则仍然成立. [典例1]　计算与化简： (1)0.027－＋256＋(2)－3－1； (2)(a－2b－3)·(－4a－1b)÷(12a－4b－2c)； (3)2÷4×3； (4)－·(a>0，b>0). [解]　(1)原式＝(0.33)－＋(44)＋－＝－＋43＋2－＝. (2)原式＝－4a－2－1b－3＋1÷(12a－4b－2c) ＝－a－3－(－4)b－2－(－2)c－1＝－ac－1＝－. (3)原式＝2a÷(4a·b)·(3b) ＝a－b－·3b＝ab. (4)原式＝·a·a－·b－·b＝a0b0＝. [方法技巧] 1.利用指数幂的运算法则化简求值的方法 (1)进行指数幂的运算时，一般化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数，同时兼顾运算的顺序. (2)在明确根指数的奇偶数(或具体次数)时，若能明确被开方数的符号，则可以对根式进行化简运算. (3)对于含有字母的化简求值的结果，一般用分数指数幂的形式表示. 2.化简指数幂常用技巧 (1)－p＝p(ab≠