6.3.5 板块综合融会 平面向量及其应用(习题课—小结评价式教学)（Word教参）- 【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学必修第二册（人教A版2019）

板块综合融会　平面向量及其应用(习题课—小结评价式教学) [建构知识体系] [融通学科素养] 1．浸润的核心素养 (1)向量的线性运算及平面向量基本定理主要通过几何图形来考查，突出考查逻辑推理、直观想象和数学运算的核心素养． (2)向量数量积的考查高考中几乎年年都有，若以代数知识形态出现，则主要考查公式运用下的简单计算，聚焦 的是数学运算素养；若以几何形态出现，则突出对直观想象以及数学运算素养的考查． (3)向量的坐标运算往往作为基础题出现，突出的是数学运算素养． 2．渗透的数学思想 (1)数形结合思想：向量具有几何与代数两个特征，在向量运算中三角形法则与平行四边形法则的应用及建系都体现了数形结合的思想． (2)转化与化归思想：在解决向量的夹角问题，向量的平行、垂直关系的研究均可化归为它们对应向量或向量的坐标运算问题，三角形形状的判定可归结为判断向量的数量积与零的大小的关系问题．向量的数量积的性质：a·a＝a2＝|a|2作为桥梁，沟通了向量与实数间的转换关系．解题时，可根据问题要求选择将向量运算(向量的数量积)转化为实数运算(向量的模)或将实数运算化归为向量运算，体现了转化与化归思想． (3)分类讨论思想：向量中的一些知识：平行向量可以分为同向向量或反向向量；向量b在a方向上的投影值，随a与b的夹角不同有正数、负数或零等三种情形． 融通点(一)　平面向量中的最值与范围问题 [典例1]　(1)已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则·的取值范围是(　 ) A．(－2,6) B．(－6,2) C．(－2,4) D．(－4,6) (2)已知平面向量a，b的夹角为60°，且|a＋b|＝，则|a|＋|b|的最大值为________． [解析]　(1)如图，取A为坐标原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，则A(0,0)，B(2,0)，C(3，)，F(－1，)． 设P(x，y)，则＝(x，y)，＝(2,0)，且－1<x<3. 所以·＝(x，y)·(2,0)＝2x∈(－2,6)．故选A. (2)|a＋b|＝，两边平方得a2＋2|a||b|cos 60°＋b2＝3， 即a2＋|a|·|b|＋b2＝3，变形为|a|·|b|＝(|a|＋|b|)2－3， 其中|a|·|b|≤，当且仅当|a|＝|b|时等号成立， 所以(|a|＋|b|)2－3≤，解得|a|＋|b|∈(0,2]． [答案]　(1)A　(2)2 [方法技巧] 向量求最值(范围)的常用方法 (1)利用三角函数求最值(范围)． (2)利用基本不等式求最值(范围)． (3)建立坐标系，设变量构造函数求最值(范围)． (4)数形结合，应用图形的几何性质求最值． [针对训练] 1．已知点D在Rt△ABC的斜边BC上，若AB＝2，AC＝3，则·的取值范围为(　 ) A．[－2,3] B．[0,4] C．[0,9] D．[－4,9] 解析：选D　设＝λ，其中0≤λ≤1， 则－＝λ(－)，从而＝λ＋(1－λ)，故·＝[λ＋(1－λ)]·(－)＝λ2－(1－λ)2＋(1－2λ)· ＝9λ－4(1－λ)＝13λ－4∈[－4,9]，故选D. 2．已知向量a，b满足|a|＝2|b|，a·b＝－1，则|a＋b|的最小值为________． 解析：设向量a，b的夹角为θ，因为a·b＝－1，所以θ∈，则a·b＝|a|·|b|·cos θ＝2|b|2·cos θ＝－1，所以|b|2＝≥，所以|a＋b|2＝|a|2＋|b|2＋2a·b＝5|b|2－2≥，即|a＋b|的最小值为. 答案： 融通点(二)　平面向量与三角函数的综合问题 [典例2]　已知向量a＝(cos α，λsin α)，b＝(cos β，sin β)．其中λ>0,0<α<β<且a＋b与a－b相互垂直． (1)求实数λ的值； (2)a·b＝，且tan β＝2，求tan α. [解]　(1)因为向量a＝(cos α，λsin α)，b＝(cos β，sin β)． 所以a＋b＝(cos α＋cos β，λsin α＋sin β)，a－b＝(cos α－cos β，λsin α－sin β)， 因为a＋b与a－b相互垂直，所以(a＋b)·(a－b)＝0.所以(cos α＋cos β)(cos α－cos β)＋(λsin α＋sin β)(λsin α－sin β)＝0. 所以cos2α－cos2β＋λ2sin2α－sin2β＝0.所以cos2α＋λ2sin2α－(cos2β＋sin2β)＝0. 所以λ2sin2α＝1－cos2α＝sin2α.因为0<α<，所以sin2α≠0，所以λ2＝1. 又λ>0，所以λ＝1. (2)由(1)知，λ＝1，向量a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)． 所以a·b＝cos