8.6 板块综合融会 空间点、线、面位置关系(习题课—小结评价式教学)（Word教参）- 【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学必修第二册（人教A版2019）

板块综合融会　空间点、线、面位置关系(习题课—小结评价式教学) [建构知识体系] [融通学科素养] 1．浸润的核心素养 (1)通过线线平行、线面平行、面面平行之间的相互转化，提升逻辑推理和直观想象素养． (2)通过线线垂直、线面垂直、面面垂直三者之间的转化，提升直观想象和逻辑推理素养． 2．渗透的数学思想 (1)在判断空间几何体的点、线、面的位置关系，直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行与垂直关系的证明中，根据图形运算求解或证明体现了数形结合的思想． (2)在本章中化归思想无处不在，如“要证线面平行，先证线线平行” “要证面面平行，先证线面平行” “要证线面垂直，先证线线垂直” “要证面面垂直，先证线面垂直”等，都体现了转化与化归思想． 融通点(一)　立体几何中的交线、截面问题 [典例1]　(1)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是棱DD1和BB1上的点，MD＝DD1，NB＝BB1，那么正方体中过M，N，C1的截面图形是(　 ) A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 (2)已知直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的棱长均为2，∠BAD＝60°.以D1为球心，为半径的球面与侧面BCC1B1的交线长为__________． [解析]　(1)先确定截面上的已知边与几何体上和其共面的边的交点，再确定截面与几何体的棱的交点． 设直线C1M，CD相交于点P，直线C1N，CB相交于点Q，连接PQ交直线AD于点E，交直线AB于点F，则五边形C1MEFN为所求截面图形． (2)如图，设B1C1的中点为E，球面与棱BB1，CC1的交点分别为P，Q，连接DB，D1B1，D1P，D1Q，D1E，EP，EQ，由∠BAD＝60°，AB＝AD，知△ABD为等边三角形，∴D1B1＝DB＝2.∴△D1B1C1为等边三角形．则D1E＝，且D1E⊥平面BCC1B1.∴E为球面截侧面BCC1B1所得截面圆的圆心．设截面圆的半径为r，则r＝＝＝，可得EP＝EQ＝.∴球面与侧面BCC1B1的交线为以E为圆心的圆弧PQ. 又D1P＝，∴B1P＝＝1.同理C1Q＝1. ∴P，Q分别为BB1，CC1的中点． ∴∠PEQ＝.∴的长为×＝. [答案]　(1)C　(2) [方法技巧] 利用平面的性质确定截面的形状是解决问题的关键 (1)作截面应遵循的三个原则：①在同一平面上的两点可引直线；②凡是相交的直线都要画出它们的交点；③凡是相交的平面都要画出它们的交线． (2)作交线的方法有如下两种：①利用基本事实3作交线；②利用线面平行及面面平行的性质定理去寻找线面平行及面面平行，然后根据性质作出交线． [针对训练] 1.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是BC的中点，平面α经过直线BD且与直线C1E平行，若正方体的棱长为2，则平面α截正方体所得的多边形的面积为________． 解析：如图，过点B作BM∥C1E交B1C1于点M，过点M作BD的平行线，交C1D1于点N，连接DN，则平面BDNM即为符合条件的平面α. 由图可知M，N分别为B1C1，C1D1的中点， 故BD＝2，MN＝，且BM＝DN＝. ∴等腰梯形MNDB的高为 h＝＝. ∴梯形MNDB的面积为×(＋2)×＝. 答案： 2．已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为3，E，F分别为BC，CD的中点，P是线段A1B上的动点，C1P与平面D1EF的交点Q的轨迹长为________． 解析：如图所示，连接EF，A1B，连接A1C1，B1D1交于点M，连接B1E，BC1交于点N， 易知EF∥B1D1，即E，F，B1，D1共面． 由于P是线段A1B上的动点， 当P重合于A1或B时，C1A1，C1B与平面D1EF的交点分别为M，N，即Q的轨迹为MN. 由正方体的棱长为3，得C1M＝A1C1＝3，则BC1＝6.又＝＝，则NC1＝BC1＝4. 由A1B＝BC1＝A1C1，得∠A1C1B＝60°，则MN＝ ＝＝. 答案： 融通点(二)　空间中垂直与平行的综合问题 [典例2]　如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD是正方形，四边形BDEF是矩形，平面BDEF⊥平面ABCD，G，H分别是CE，CF的中点． (1)求证：AC⊥平面BDEF； (2)求证：平面BDGH∥平面AEF. [证明]　(1)因为四边形ABCD是正方形，所以AC⊥BD.又平面BDEF⊥平面ABCD，平面BDEF∩平面ABCD＝BD，且AC⊂平面ABCD，所以AC⊥平面BDEF. (2)在△CEF中，因为G，H分别是CE，CF的中点，所以GH∥EF. 又GH⊄平面AEF，EF⊂平面AEF，所以GH∥平面AEF. 设AC∩BD＝O，连接OH，如图． 在△ACF中，因为O，H分别为CA，CF的中点，所以OH∥AF. 因为OH⊄平面AE