6.3.5 平面向量数量积的坐标表示(强基课—梯度进阶式教学)（Word教参）- 【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学必修第二册（人教A版2019）

6.3.5　平面向量数量积的坐标表示(强基课—梯度进阶式教学) 1.掌握平面向量数量积的坐标表示，会进行平面向量数量积的坐标运算． 2．能够用两个向量的坐标来解决与向量的模、夹角、垂直有关的问题． 平面向量数量积的坐标表示 设a，b是非零向量，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ，则有： 项目 坐标表示 数量积 a·b＝x1x2＋y1y2 模 |a|＝或|a|2＝x＋y 两点间距离公式 设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)， 则||＝ 垂直 a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0 夹角 cos θ＝＝ 微点助解 关于平面向量数量积坐标表示的几个关注点 (1)两向量a与b的数量积是一个实数，不是一个向量，其值可以为正(当a≠0，b≠0,0°≤θ＜90°时)，也可以为负(当a≠0，b≠0,90°＜θ≤180°时)，还可以为0(当a＝0或b＝0或θ＝90°时)． (2)公式a·b＝|a||b|cos〈a，b〉与a·b＝x1x2＋y1y2都是用来求两向量的数量积的，没有本质区别，只是书写形式上的差异，两者可以相互推导． (3)若题目中给出的是两向量的模与夹角，则可直接利用公式a·b＝|a||b|cos〈a，b〉求解；若已知两向量的坐标，则可选用公式a·b＝x1x2＋y1y2求解． [基点训练] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，满足x1y2－x2y1＝0，则向量a，b的夹角为0°.(　 ) (2)已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a⊥b⇔x1x2－y1y2＝0.(　 ) (3)若两个向量的数量积的坐标和小于零，则两个向量的夹角一定为钝角．(　 ) 答案：(1)×　(2)×　(3)× 2．已知＝(3，－4)，则||等于(　 ) A．3 B．4 C. D．5 解析：选D　||＝＝5. 3．若向量a＝(4,2)，b＝(6，m)，且a⊥b，则m的值是(　 ) A．12 B．3 C．－3 D．－12 解析：选D　∵a⊥b，∴4×6＋2m＝0，解得m＝－12. 4．已知向量a＝(－4,3)，b＝(5,12)，则a·b＝(　 ) A．52 B．－3 C．－10 D．16 解析：选D　由已知得a·b＝－20＋36＝16.故选D. 5．已知a＝(3,4)，b＝(5,12)，则a与b夹角的余弦值为________． 解析：因为a·b＝3×5＋4×12＝63，|a|＝＝5，|b|＝＝13，所以a与b夹角的余弦值为＝＝. 答案： 题型(一)　平面向量数量积的坐标表示 [典例1]　(1)设a＝(1，－2)，b＝(－3,4)，c＝(3,2)，则(a＋2b)·c＝(　 ) A．12 B．0 C．－3 D．－11 (2)已知矩形ABCD中，||＝6，||＝4，若点M，N满足＝3，＝2，则·等于(　 ) A．20 B．15 C．9 D．6 [解析]　(1)∵a＝(1，－2)，b＝(－3,4)，c＝(3,2)，∴a＋2b＝(－5,6)．∴(a＋2b)·c＝(－5)×3＋6×2＝－3. (2)因为四边形ABCD为矩形，建系如图．A(0,0)，M(6,3)，N(4,4)．则＝(6,3)，＝(2，－1)，·＝6×2－3×1＝9. [答案]　(1)C　(2)C [方法技巧]　数量积坐标运算的技巧 (1)进行向量的数量积运算时，通常有两条途径：一是先将各向量用坐标表示，然后直接进行数量积的坐标运算；二是先利用向量的数量积的运算律将原式展开，再依据已知条件计算． (2)在平面几何图形中求数量积，若几何图形规则易建系，一般先建立坐标系，写出相关向量的坐标，再求数量积． [针对训练] 1．已知点P(2,4)，Q(1,6)，向量＝(2，λ)，若·＝0，则实数λ的值为(　 ) A. B．－ C．2 D．1 解析：选D　由P(2,4)，Q(1,6)可得＝(－1,2)，又＝(2，λ)，所以·＝－2＋2λ＝0，解得λ＝1.故选D. 2．矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4，E，F分别为BC，DC的中点，则·＝(　 ) A．4 B．6 C．8 D．10 解析：选B　建立如图所示的平面直角坐标系，因为矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4，E，F分别为BC，DC的中点，所以A(0,0)，B(2，0)，E(2,2)，F(1,4)，则＝(2,2)，＝(－1,4)，所以·＝6. 题型(二)　向量的模 [典例2]　(1)设平面向量a＝(1,2)，b＝(－2，y)，若a∥b，则|3a＋b|等于(　 ) A. B. C. D. (2)如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝1，BC＝2，P是线段AB