6.2.4 第1课时 平面向量的数量积(强基课—梯度进阶式教学)（Word教参）- 【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学必修第二册（人教A版2019）

6.2.4　向量的数量积 第 1 课时　平面向量的数量积(强基课—梯度进阶式教学) 1.通过物理中功等实例，理解平面向量数量积的概念及其物理意义，会计算平面向量的数量积． 2．通过几何直观了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义，会求投影向量． 1．向量的夹角 条件 两个非零向量a和b 产生过程 作向量＝a，＝b，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角(a，b的夹角也记作〈a，b〉) 范围 [0，π] 特殊情况 θ＝0 a与b同向 θ＝ a与b垂直，记作a⊥b θ＝π a与b反向 2．平面向量数量积的定义 定义 已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量|a||b|cos θ叫做向量a与b的数量积(或内积) 记法 记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ 规定 零向量与任一向量的数量积为0 3．投影向量 如图，设a，b是两个非零向量，＝a，＝b，过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到，我们称上述变换为向量a向向量b投影，叫做向量a在向量b上的投影向量．一般地，若向量a，b的夹角为θ，则向量a在向量b上的投影向量为|a|·cos θ或·. 4．数量积的性质 设a，b是非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，则 (1)a·e＝e·a＝|a|cos θ. (2)a⊥b⇔a·b＝0. (3)当a，b同向时，a·b＝|a||b|；当a，b反向时，a·b＝－|a||b|.特别地，a·a＝|a|2或|a|＝. (4)|a·b|≤|a||b|. 微点助解 (1)向量a在b上的投影向量为|a|cos θ e(其中e为与b同向的单位向量)，它是一个向量，且与b共线，其方向由向量a和b夹角θ的余弦值决定． (2)向量a在b上的投影向量可表示为·. (3)a在b上的投影向量与b在a上的投影向量不同，即向量b在a上的投影向量可表示为|b|cos θ. [基点训练] 1．(多选)在锐角三角形ABC中，下列说法正确的是(　 ) A．与的夹角是钝角 B．与的夹角是锐角 C．与的夹角是钝角 D．与的夹角是锐角 答案：AB 2．若向量a，b满足|a|＝|b|＝1，a与b的夹角为60°，则a·b等于(　 ) A. B. C．1＋ D．2 解析：选A　a·b＝|a||b|cos 60°＝. 3．已知|a|＝3，|b|＝4，a·b＝－6，则向量a与b的夹角为(　 ) A. B. C. D. 解析：选B　设向量a与b的夹角为θ，θ∈[0，π]，因为cos θ＝＝＝－，所以θ＝. 4．已知|a|＝4，e为单位向量，它们的夹角为，则a在e上的投影向量是________． 解析：a在e上的投影向量是|a|cose＝4×e＝－2e. 答案：－2e 题型(一)　求向量的夹角 [典例1]　已知|a|＝|b|＝2，且a与b的夹角为60°，则a＋b与a的夹角是多少？a－b与a的夹角又是多少？ [解]　如图所示，作＝a，＝b，且∠AOB＝60°， 以，为邻边作平行四边形OACB， 则＝a＋b，＝a－b. 因为|a|＝|b|＝2，所以平行四边形OACB是菱形． 又∠AOB＝60°， 所以与的夹角为30°，与的夹为60°. 即a＋b与a的夹角是30°，a－b与a的夹角是60°. [方法技巧] 求两个向量夹角的关键是利用平移的方法使两个向量起点重合，作两个向量的夹角，按照“一作二证三算”的步骤求出． [针对训练] 1．在△ABC中，∠C＝90°，BC＝AB，则与的夹角是(　 ) A．30° B．60° C．120° D．150° 解析：选C　如图，作向量＝，则∠BAD是与的夹角．在△ABC中，因为∠ACB＝90°，BC＝AB，所以∠ABC＝60°.所以∠BAD＝120°. 题型(二)　求向量的数量积 [典例2]　(1)若a与b满足|a|＝|b|＝1，〈a，b〉＝60°，则a·a＋a·b等于(　 ) A.　　　B. C．1＋　　D．2 (2)已知等边三角形ABC的边长为1，设＝a，＝b，＝c，那么a·b＋b·c＋c·a＝(　 ) A．3　　　 B．－3 C.　　　D．－ [解析]　(1)由题意得a·a＋a·b＝|a|2＋|a|·|b|·cos 60°＝1＋＝，故选B. (2)在等边三角形ABC中，有a·b＋b·c＋c·a＝1×1×cos 120°＋1×1×cos 120°＋1×1×cos 120°＝－.故选D. [答案]　(1)B　(2)D [方法技巧] 向量数量积的求法 求两个向量的数量积，首先确定两个向量的模及向量的夹角，其中准确求出两个向量的夹角是求数量积的关键． [针对训练] 2.如图，已知A，B是圆C上两点，若||＝4，则·＝(　 ) A．2