8.6.3第1课时 平面与平面垂直的判定定理(强基课—梯度进阶式教学)（Word教参）- 【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学必修第二册（人教A版2019）

8.6.3　平面与平面垂直 第 1 课时　平面与平面垂直的判定定理(强基课—梯度进阶式教学) 1.理解二面角的有关概念，会作二面角的平面角，能求简单二面角的平面角的大小． 2．了解面面垂直的定义，掌握面面垂直的判定定理，初步学会用定理证明垂直关系． (一)二面角的有关概念 (1)定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形． (2)相关概念：①这条直线叫做二面角的棱，②两个半平面叫做二面角的面． (3)画法： (4)记法：二面角α-l-β或α-AB-β或P-l-Q或P-AB-Q. (5)二面角的平面角：若有： ①O∈l；②OA⊂α，OB⊂β；③OA⊥l，OB⊥l，则二面角α-l-β的平面角是∠AOB. (6)二面角的范围：0°≤α≤180°. (7)直二面角：平面角是直角的二面角． 微点助解 构成二面角的平面角的三要素 “棱上”“面内”“垂直”．即二面角的平面角的顶点必须在棱上，角的两边必须分别在两个半平面内，角的两边必须都与棱垂直，这三个条件缺一不可．前两个要素决定了二面角的平面角大小的唯一性，第三个要素决定了平面角所在的平面与棱垂直． [基点训练] 1.如图所示的二面角可记为(　 ) A．α-β-l B．M-l-N C．l-M-N D．l-β-α 答案：B 2.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，二面角A-BC-A1的平面角等于______． 解析：根据正方体中的位置关系可知，AB⊥BC，A1B⊥BC，根据二面角平面角定义可知，∠ABA1即为二面角A-BC-A1的平面角．又AB＝AA1，且AB⊥AA1，所以∠ABA1＝45°. 答案：45° (二)平面与平面垂直 1．面面垂直的定义 定义 一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直 画法 画两个互相垂直的平面时，通常把表示平面的两个平行四边形的一组边画成垂直．如图 记作 α⊥β 2.平面与平面垂直的判定定理 文字语言 图形语言 符号语言 作用 如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直 ⇒α⊥β 证面面垂直 微点助解 (1)面面垂直的判定定理可简述为“线面垂直⇒面面垂直”．要证明平面与平面垂直，只需转化为证明直线与平面垂直． (2)观察空间图形时，不能以平面的观点去看待，平面上画的两直线成锐角或钝角，在空间中可能是垂直的． [基点训练] 1．已知直线l⊥平面α，则经过l且和α垂直的平面(　 ) A．有一个 B．有两个 C．有无数个 D．不存在 解析：选C　经过l的任一平面都和α垂直． 2．若平面α⊥平面β，平面β⊥平面γ，则(　 ) A．α∥γ B．α⊥γ C．α与γ相交但不垂直 D．以上都有可能 答案：D 3．过两点与一个已知平面垂直的平面(　 ) A．有且只有一个 B．有无数个 C．一个或无数个 D．可能不存在 解析：选C　当两点连线与平面垂直时，有无数个平面与已知平面垂直，当两点连线与平面不垂直时，有且只有一个平面与已知平面垂直． 题型(一)　二面角的概念及其大小计算 [典例1]　如图所示，在△ABC中，AB⊥BC，SA⊥平面ABC，DE垂直平分SC，且分别交AC，SC于点D，E，又SA＝AB，SB＝BC，求二面角E-BD-C的大小． 　　 [解]　因为E为SC的中点，且SB＝BC， 所以BE⊥SC. 又DE⊥SC，BE∩DE＝E，BE，DE⊂平面BDE，所以SC⊥平面BDE.所以BD⊥SC. 又SA⊥平面ABC，可得SA⊥BD，SC∩SA＝S，SC，SA⊂平面SAC，所以BD⊥平面SAC. 从而BD⊥AC，BD⊥DE. 所以∠EDC为二面角E-BD-C的平面角． 设SA＝AB＝1，在△ABC中， 因为AB⊥BC，所以SB＝BC＝，AC＝，所以SC＝2. 在Rt△SAC中，∠DCS＝30°， 所以∠EDC＝60°，即二面角E-BD-C为60°. [方法技巧] 1．求二面角大小的步骤 简称为“一作二证三求”． 2．确定二面角的平面角的方法 (1)定义法：在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别过该点作垂直于棱的射线． (2)垂面法：过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半平面产生交线，这两条交线所成的角，即为二面角的平面角． [针对训练] 1．在等腰直角三角形ABC中，AB＝BC＝1，M为AC的中点，沿BM把它折成二面角，折后A与C的距离为1，则二面角C-BM-A的大小为(　 ) A．30° B．60° C．90° D．120° 解析：选C　如图，由A′B＝BC＝1，∠A′BC＝90°得A′C＝.因为M为A′C的中点，所以MC＝AM＝，且CM⊥BM，AM⊥BM，所以∠CMA为二面角C-BM-A的平面角．因为AC＝1，MC＝MA＝，所以∠