6.2.4 第2课时 平面向量数量积的应用(深化课—题型研究式教学)（Word教参）- 【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学必修第二册（人教A版2019）

第 2 课时　平面向量数量积的应用(深化课—题型研究式教学) 1.进一步掌握数量积的运算，掌握平面向量数量积的运算律及常用的公式． 2．能运用数量积的运算性质和运算律解决模、垂直、夹角及证明问题． 1．平面向量数量积的运算律 交换律 a·b＝b·a 结合律 (λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb) 分配律 (a＋b)·c＝a·c＋b·c 微点助解 (1)向量的数量积不满足消去律：若a，b，c均为非零向量，且a·c＝b·c，但得不到a＝b. (2)(a·b)·c≠a·(b·c)，因为a·b，b·c是数量积，是实数，不是向量，所以(a·b)·c与向量c共线，a·(b·c)与向量a共线，因此(a·b)·c＝a·(b·c)在一般情况下不成立． 2．平面向量的数量积的几个常用结论 类比多项式的乘法公式，写出下表中的平面向量数量积的运算性质. 多项式乘法 向量数量积 (a＋b)2＝a2＋2ab＋b2 (a＋b) 2＝a2＋2a·b＋b2 (a－b) 2＝a2－2ab＋b2 (a－b) 2＝a2－2a·b＋b2 (a＋b)(a－b)＝a2－b2 (a＋b)·(a－b)＝a2－b2 (a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca (a＋b＋c) 2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2b·c＋2c·a 题型(一)　平面向量数量积 [典例1]　(2023·全国乙卷)正方形ABCD的边长是2，E是AB的中点，则·＝(　 ) A. B．3 C．2 D．5 [解析]　由题意知，＝＋＝＋，＝＋＝－＋， 所以·＝·＝||2－||2＝4－1＝3，故选B. [答案]　B [方法技巧] 求向量的数量积时，需明确两个关键点：模和夹角．若相关向量是两个或两个以上向量的线性运算，则需先利用向量数量积的运算律及多项式乘法的相关公式进行化简． [针对训练] 1.如图，在△ABC中，AD⊥AB，＝，||＝2，则·＝(　 ) A．2 B．4 C．3 D. 解析：选B　根据向量的线性运算，结合平面向量数量积的定义可得·＝(＋)·＝·＋·，由AD⊥AB，可知·＝0，又因为＝ ，||＝2，所以·＝·＝||·||·cos∠ADB＝×2×||×＝4.故选B. 2．(2021·新课标Ⅱ卷)已知向量a＋b＋c＝0，|a|＝1，|b|＝|c|＝2，a·b＋b·c＋c·a＝________. 解析：(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a)＝2(a·b＋b·c＋c·a)＋9＝0⇒a·b＋b·c＋c·a＝－. 答案：－ 题型(二)　平面向量的模 [典例2]　已知向量a与b夹角为45°，且|a|＝1，|2a＋b|＝，求|b|. [解]　因为|2a＋b|＝，所以(2a＋b)2＝10. 所以4a2＋4a·b＋b2＝10. 又因为向量a与b的夹角为45°且|a|＝1， 所以4×12＋4×1×|b|×＋|b|2＝10. 整理得|b|2＋2|b|－6＝0， 解得|b|＝或|b|＝－3(舍去)． [方法技巧] 求向量模的一般思路及常用公式 (1)求向量模的常见思路 (2)常用公式 ①(a－b)·(a＋b)＝a2－b2＝|a|2－|b|2； ②|a±b|2＝(a±b)2＝a2±2a·b＋b2. [针对训练] 3．已知向量a，b满足|a＋b|＝4，|a－b|＝2，则|a||b|的最大值是(　 ) A．3 B．4 C．5 D．6 解析：选C　∵|a＋b|＝4，|a－b|＝2，∴|a＋b|2＋|a－b|2＝2|a|2＋2|b|2＝20.∴|a|2＋|b|2＝10.∵(a－b)2≥0，∴|a|2＋|b|2≥2|a||b|.∴|a||b|≤5.∴|a||b|的最大值为5，故选C. 4．已知|a|＝2，|b|＝3，a与b的夹角为，且a＋b＋c＝0，则|c|＝________. 解析：因为a＋b＋c＝0，所以c＝－a－b，所以c2＝(－a－b)2＝a2＋2a·b＋b2＝22＋2×2×3cos＋32＝4－6＋9＝7，所以|c|＝. 答案： 题型(三)　平面向量的夹角与垂直 [典例3]　 (1)已知非零向量a，b满足|a|＝2|b|，且(a－b)⊥b，则a与b的夹角为(　 ) A.　　　B.　　　C.　　　D. (2)已知e1与e2是两个互相垂直的单位向量，若向量e1＋ke2与ke1＋e2的夹角为锐角，则k的取值范围为________． [解析]　(1)因为(a－b)⊥b，所以(a－b)·b＝a·b－b2＝0，所以a·b＝b2，所以cos θ＝＝＝.因为0≤θ ≤π，所以a与b的夹角为，故选B. (2)因为e1＋ke2与ke1＋e2的夹角为锐角， 所以(e1＋ke2)·(ke1＋e2)＝ke＋ke＋(k2＋1)e1·e2＝2k＞0，所以k＞0.当k