第八章 立体几何初步小结与复习-（配套教参）【高中快车道】2023-2024学年高中数学必修第二册同步课时教师用书word（人教A版2019）

第八章小结与复习 一、 知识网络·体系构建 二、主题归纳·综合提升 主题1　线线、线面和面面位置关系的证明问题  [教材改编题]如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,平面PAD⊥平面ABCD,PA⊥PD,PA=PD,E,F分别为AD,PB的中点.求证: (1) PE⊥BC; (2) 平面PAB⊥平面PCD; (3) EF∥平面PCD. 例1 (1) 利用PA=PD,E为AD的中点,可得PE⊥AD,根据AD∥BC,即可证明PE⊥BC.　(2) 利用线面垂直的判定定理证明PA⊥平面PCD,进而可证明平面PAB⊥平面PCD.　(3) 取PC的中点G,连接GF,CD,证明四边形EFGD是平行四边形,可得EF∥GD,利用线面平行的判定定理,即可证明结论. (1) ∵PA=PD,E为AD的中点,∴PE⊥AD.∵底面ABCD为矩形,∴BC∥AD.∴PE⊥BC.　(2) ∵四边形ABCD为矩形,∴CD⊥AD.∵平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,CD⊂平面ABCD,∴CD⊥平面PAD.∵PA⊂平面PAD,∴CD⊥PA.又∵PA⊥PD,CD,PD⊂平面PCD,CD∩PD=D,∴PA⊥平面PCD.∵PA⊂平面PAB,∴平面PAB⊥平面PCD.　(3) 如图,取PC的中点G,连接FG,GD.∵F,G分别为PB和PC的中点,∴FG∥BC,FG=BC.∵四边形ABCD为矩形,∴BC∥AD,BC=AD.∵E为AD的中点,∴ED=AD,ED∥BC,ED=BC.∴ED∥FG,ED=FG,∴四边形EFGD为平行四边形,∴EF∥GD.∵EF⊄平面PCD,GD⊂平面PCD,∴EF∥平面PCD. 例1答图 变式训练1 [2022·浙江省温州市高一期末]如图,在矩形ABCD中,AB=2AD=4,E是CD的中点,将△DAE沿线段AE折起到△PAE的位置,F为PB的中点. (1) 求证:CF∥平面PAE; (2) 若PB=2,求证:平面PAE⊥平面ABCE. 变式训练1 (1) 如图,取AB的中点G,连接FG,CG,∵在矩形ABCD中,AB=2AD=4,E是CD的中点,F为PB的中点,∴FG∥PA,CG∥AE,易得FG∥平面PEA,CG∥平面PEA,∵FG∩CG=G,FG,CG⊂平面FCG,∴平面FCG∥平面PEA,∵CF⊂平面FCG,∴CF∥平面PAE.　(2) 如图,取AE的中点H,连接PH,BH,∵PA=PE=2,PA⊥PE,∴PH⊥AE.易得AH=,∠BAH=45°,则BH= =.∵PB=2,PH=AE==,∴PH2+BH2=PB2,∴PH⊥BH,∵AE∩BH=H,∴PH⊥平面ABCE,∵PH⊂平面PAE,∴平面PAE⊥平面ABCE. 变式训练1答图 点评总结　证明线线、线面、面面平行、垂直关系的关键是合理转化. 设计意图　通过对本主题的探索与研究,引导学生运用空间线线、线面、面面平行、垂直的定义、判定定理和性质定理证明空间线线、线面和面面的平行和垂直关系,体会空间线线、线面、面面平行、垂直关系的相互转化的方法,提高学生分析问题、解决问题的能力,发展学生直观想象和逻辑推理等素养. 主题2　有关空间线线角、线面角和面面角的问题  [2022·天津市河西区高一期末]如图,在四面体A-BCD中,△ABC是等边三角形,平面ABC⊥平面ABD,M为棱AB的中点,AB=2,AD=2,∠BAD=90°. (1) 求证:AD⊥BC; (2) 求异面直线BC与MD所成角的余弦值; (3) 求直线CD与平面ABD所成角的正弦值. 例2 (1) 面面垂直、线面垂直、线线垂直之间互相转化.　(2) 利用平行线,找异面直线所成的角.　(3) 利用线面角的概念找出线面角的平面角. (1) 证明:∵平面ABC⊥平面ABD,平面ABC∩平面ABD=AB,AD⊥AB,∴AD⊥平面ABC,∵BC⊂平面ABC,∴AD⊥BC.　(2) 取棱AC的中点N,连接MN,ND.∵M为棱AB的中点,∴MN∥BC,∴∠DMN(或其补角)为异面直线BC与MD所成的角.在Rt△DAM中,AM=1,∴DM==.∵AD⊥平面ABC,AC⊂平面ABC,∴AD⊥AC.在Rt△DAN中,AN=1,∴DN==.在等腰三角形DMN中,MN=1,可得cos∠DMN==.∴异面直线BC与MD所成角的余弦值为.　(3) 连接CM.∵△ABC为等边三角形,M为AB的中点,∴CM⊥AB,CM=.又∵平面ABC⊥平面ABD,平面ABC∩平面ABD=AB,CM⊂平面ABC,∴CM⊥平面ABD,∴∠CDM为直线CD与平面ABD所成的角.在Rt△CAD中,CD==4.在Rt△CMD中,sin∠CDM==.即直线CD与平面ABD所成角的正弦值为. 例2答图 变式训练2 (多选)[2022·湖南省邵阳市