第八章 立体几何初步 小结与复习-（配套课件）【高中快车道】2023-2024学年高中数学必修第二册配套课件PPT（人教A版2019）

第八章 小结与复习 知识网络·体系构建 知识网络·体系构建 主题归纳·综合提升 【主题1】 线面、面面位置关系的证明问题 【例1】 [教材改编题]如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA＝PD，E，F分别为AD，PB的中点．求证： (1) PE⊥BC； (2) 平面PAB⊥平面PCD； (3) EF∥平面PCD. 思路点拨 (1) 利用PA＝PD，E为AD的中点，可得PE⊥AD，根据AD∥BC，即可证明PE⊥BC.　(2) 利用线面垂直的判定定理证明PA⊥平面PCD，进而可证明平面PAB⊥平面PCD.　(3) 取PC的中点G，连接GF，CD，证明四边形EFGD是平行四边形，可得EF∥GD，利用线面平行的判定定理，即可证明结论． 主题归纳·综合提升 【解】(1) ∵PA＝PD，E为AD的中点，∴PE⊥AD.∵底面ABCD为矩形，∴BC∥AD.∴PE⊥BC.　 (2) ∵四边形ABCD为矩形，∴CD⊥AD.∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，CD⊂平面ABCD，∴CD⊥平面PAD.∵PA⊂平面PAD，∴CD⊥PA.又∵PA⊥PD，CD，PD⊂平面PCD，CD∩PD＝D，∴PA⊥平面PCD.∵PA⊂平面PAB，∴平面PAB⊥平面PCD.　 (3) 如图，取PC的中点G，连接FG，GD.∵F，G分别为PB和PC的中点，∴FG∥BC，FG＝ BC.∵四边形ABCD为矩形，∴BC∥AD，BC＝AD.∵E为AD的中点，∴ED＝ AD，ED∥BC，ED＝ BC.∴ED∥FG，ED＝FG，∴四边形EFGD为平行四边形，∴EF∥GD.∵EF⊄平面PCD，GD⊂平面PCD，∴EF∥平面PCD. 【变式训练1】 [2022·浙江省温州市高一期末]如图，在矩形ABCD中，AB＝2AD＝4，E是CD的中点，将△DAE沿线段AE折起到△PAE的位置，F为PB的中点． (1) 求证：CF∥平面PAE； (2) 若PB＝2，求证：平面PAE⊥平面ABCE. 【证明】 (1) 如图，取AB的中点G，连接FG，CG，∵在矩形ABCD中，AB＝2AD＝4，E是CD的中点，F为PB的中点，∴FG∥PA，CG∥AE，易得FG∥平面PEA，CG∥平面PEA，∵FG∩CG＝G，FG，CG⊂平面FCG，∴平面FCG∥平面PEA，∵CF⊂平面FCG，∴CF∥平面PAE.　(2) 如图，取AE的中点H，连接PH，BH，∵PA＝PE＝2，PA⊥PE，∴PH⊥AE.易得AH＝2，∠BAH＝45°，则BH＝＝ .∵PB＝2 ，PH＝AE＝ ＝ ，∴＋ ＝ ，∴PH⊥BH，∵AE∩BH＝H，∴PH⊥平面ABCE，∵PH⊂平面PAE，∴平面PAE⊥平面ABCE. 【点评总结】 证明线线、线面、面面平行、垂直关系的关键是合理转化． 【主题2】 有关空间线线角、线面角和面面角的问题 【例2】 [2022·天津市河西区高一期末]如图，在四面体A-BCD中，△ABC是等边三角形，平面ABC⊥平面ABD，M为棱AB的中点，AB＝2，AD＝2，∠BAD＝90°. (1) 求证：AD⊥BC； (2) 求异面直线BC与MD所成角的余弦值； (3) 求直线CD与平面ABD所成角的正弦值． 思路点拨 (1) 面面垂直、线面垂直、线线垂直之间互相转化．　(2) 利用平行线，找异面直线所成的角．　(3) 利用线面角的概念找出线面角的平面角． 【证明】 (1) 证明：∵平面ABC⊥平面ABD，平面ABC∩平面ABD＝AB，AD⊥AB，∴AD⊥平面ABC，∵BC⊂平面ABC，∴AD⊥BC. (2) 取棱AC的中点N，连接MN，ND.∵M为棱AB的中点，∴MN∥BC，∴∠DMN(或其补角)为异面直线BC与MD所成的角．在Rt△DAM中，AM＝1，∴DM＝＝ .∵AD⊥平面ABC，AC⊂平面ABC，∴AD⊥AC.在Rt△DAN中，AN＝1，∴DN＝ ＝ .在等腰三角形DMN中，MN＝1，可得cos∠DMN＝ ＝ .∴异面直线BC与MD所成角的余弦值为.　 (3) 连接CM.∵△ABC为等边三角形，M为AB的中点，∴CM⊥AB，CM＝.又∵平面ABC⊥平面ABD，平面ABC∩平面ABD＝AB，CM⊂平面ABC，∴CM⊥平面ABD，∴∠CDM为直线CD与平面ABD所成的角．在Rt△CAD中，CD＝ ＝4.在Rt△CMD中，sin∠CDM＝ ＝.即直线CD与平面ABD所成角的正弦值为 . 【变式训练2】 (多选) [2022·湖南省邵阳市第二中学高二开学考试]如图，直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，BC＝CD＝AB＝2，E为AB的中点．以DE为折痕把△ADE折起，使点A到达点P的位置，且PC＝2 ，则(　 　)