6.2.3 平面向量的坐标及其运算(强基课)（课件PPT）- 【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学必修第二册（人教B版2019）

课时目标 6.2.3　平面向量的坐标及其运算 (强基课—梯度进阶式教学) 1.借助平面直角坐标系，掌握平面向量的正交分解及坐标表示，会用坐标表示平面向量的加、减运算与数乘运算. 2.能用坐标表示平面向量共线的条件. 1 2 目 录 课前环节/预知教材·自主落实主干基础 课堂环节/题点研究·迁移应用融会贯通 2 (一)平面向量的坐标 1.向量的垂直 平面上的两个非零向量a与b，如果它们所在的直线互相_______，我们就称向量a与b垂直，记作_______.规定零向量与任意向量都______. 垂直 a⊥b 垂直 2.向量的正交分解 如果平面向量的基底{e1，e2}中，e1⊥e2，就称这组基底为____________；在正交基底下向量的分解称为向量的__________. 3.向量的坐标 一般地，给定平面内两个相互垂直的单位向量e1，e2，对于平面内的向量a，如果a＝xe1＋ye2，则称(x，y)为向量a的坐标，记作a＝(x，y). 正交基底 正交分解 微点助解 求平面向量坐标的两种方法 (1)将向量用单位向量e1，e2表示出来； (2)将向量的始点平移到原点，读出终点的坐标. [基点训练] 1.如图所示，{e1，e2}为正交基底，则向量2a＋b的坐标为(　 ) A.(3,4) B.(2,4) C.(3,4)或(4,3) D.(4,2)或(2,4) 答案：A　 2.已知向量i＝(1,0)，j＝(0,1)，对于该坐标平面内的任一向量a，则下列四个结论正确的是(　 ) A.存在唯一的一对实数x，y，使得a＝(x，y) B.若x1，x2，y1，y2∈R，a＝(x1，y1)≠(x2，y2)，则x1≠x2，且y1≠y2 C.若x，y∈R，a＝(x，y)，且a≠0，则a的始点是原点O D.若x，y∈R，a≠0，且a的终点坐标是(x，y)，则a＝(x，y) 答案：A　 解析：由平面向量基本定理，知A正确；举反例，a＝(1,0)≠(1,3)，但1＝1，故B错误；向量可以平移，a＝(x，y)与a的始点是不是原点无关，故C错误；当a的终点坐标是(x，y)时，a＝(x，y)是以a的始点是原点为前提的，故D错误. (二)平面向量的坐标运算及常用公式 1.平面上向量的运算与坐标的关系 向量的加、减法 若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝_______________，a－b＝_______________，即两个向量和与差的坐标等于两个向量相应坐标的和与差 实数与向量的积 若a＝(x，y)，λ∈R，则λa＝_______，即数乘向量积的坐标等于数乘以向量相应坐标的积 (x1＋x2，y1＋y2) (x1－x2，y1－y2) (λx，λy) 续表 向量的数乘、加、减混合运算 若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，u，v∈R，则ua±vb＝(ux1±vx2，uy1±vy2) 向量的模 3.向量平行的坐标表示 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b⇔_____________. x2y1＝x1y2 [基点训练] 1.判断正误(正确的划“√”，错误的划“×”) (1)相等向量的坐标相同与向量的始点、终点无关.(　 ) (2)两向量差的坐标与两向量的顺序无关.(　 ) (3)点的坐标与向量的坐标相同.(　 ) (4)已知a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，若a∥b，则必有a1b2＝a2b1.(　 ) 答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)√ 2.若a＝(2,1)，b＝(1,0)，则3a－2b的坐标是(　 ) A.(5,3) B.(4,3) C.(8,3) D.(0，－1) 答案：B　 解析：3a－2b＝3(2,1)－2(1,0)＝(4,3). 3.已知向量a＝(1,2)，2a＋b＝(3,2)，则|b|等于(　 ) 答案：A　 题型(一)　平面向量的坐标 [典例1]　如图所示，分别用单位正交基底{i，j}表示向量a，b，c，d，并求出它们的坐标. ∴a＝(2,3). 同理可得b＝－2i＋3j＝(－2,3)， c＝－2i－3j＝(－2，－3)， d＝2i－3j＝(2，－3). [方法技巧] 求平面向量坐标的一般方法 (1)数形结合法：根据正交分解，求向量在x轴、y轴上的坐标分量. (2)平移法：把向量的始点移至坐标原点，终点坐标即向量的坐标.　　 [针对训练] 题型(二)　平面向量的运算与坐标的关系 (1)求3a＋b－3c； (2)求满足a＝mb＋nc的实数m，n的值. [解]　由题得，a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1,8). (1)3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8)＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42). (2)因为a＝mb