第二十四章 专题特训九巧作辅助圆解题-【拔尖特训】2023-2024学年九年级上册数学 人教版

专题特训九　巧作辅助圆解题 ▶ “答案与解析”见P42 类型一 定(动)点定长模型 1. 如图,在四边形ABCD 中,AB=AC=AD, 且∠CAD=3∠BAC.若∠DBC=42°,则 ∠CAD= °,∠BDC= °. (第1题) (第2题) 2. 如图,在四边形ABCD 中,DC∥AB,BC=1, AB=AC=AD=2,则BD 的长为 . 类型二 对角互补模型 3. 如图,在等边三角形ABC 中,AB=6,P 为边 AB 上一动点,PD⊥BC,PE⊥AC,垂足分 别为D,E,则DE 长的最小值为 . (第3题) 类型三 圆周角为直角模型 答案讲解 4. 如图,在Rt△ABC 中,AB⊥BC, AB=6,BC=4, P 是△ABC 内部 的一个动点,且始终有 AP⊥BP, 则CP 长的最小值为 . (第4题) (第5题) 5. 如图,正方形ABCD 的边长为4,E 是边AB 上一个动点,F 是边CD 上一个动点,且 AE=CF,连接EF,过点 B 作 BG⊥EF 于 点G,连 接 AG,则 AG 长 的 最 小 值 为 . 类型四 定弦对定角模型 6. 如图,△ABC 为等边三角形,AB= 3.若P 为△ABC 内一动点,且满足 ∠PAB=∠ACP,则PB 长的最小 值为 ( ) (第6题) A. 1.5 B. 3 C. 43 3 D. 2 7. 在△ABC 中,若 AB=6,∠C=45°,求 △ABC 的面积的最大值. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 28 数学(人教版)九年级上 {#{QQABIQaEogCoAAIAAQgCUwXyCACQkBECCIoGQFAAsAAAQBNABAA=}#} ∴ OD∥AB. ∵ DF⊥AB, ∴ OD⊥DF. 又∵ OD 是☉O 的半径, ∴ DF 是☉O 的切线. (2) 连接BD. ∵ BC为☉O 的直径, ∴ ∠BDC=90°,即BD⊥AC. ∵ △ABC是等边三角形, ∴ CD=DA. 又∵ OC=OB, ∴ OD 是△ABC的中位线. ∵ ∠AFD=90°,∠A=60°, ∴ ∠ADF=30°. ∵ AF=1, ∴ 在Rt△ADF 中,AD=2AF=2. ∴ CD=AD=2. 由(1),知△OCD 是等边三角形, ∴ OD=CD=2. 在 Rt△ADF 中,由 勾 股 定 理,得 DF2=AD2-AF2=3.在Rt△ODF 中,由 勾 股 定 理,得 OF = OD2+DF2 = 22+3= 7,即 OF 的长为7. 判断直线与圆相切的方法 (1) 当直线和圆有一个公共点 时,把圆心和这个公共点连接起来, 然后证明直线垂直于这条半径,简 称“连半径,证垂直”. (2) 当直线和圆的公共点没有 明确时,可过圆心作直线的垂线,再 证明圆心到直线的距离等于半径, 简称“作垂直,证半径”. 11. (1) 如图,连接OC. ∵ AC平分∠FAB, ∴ ∠FAC=∠CAO. ∵ CO=AO, ∴ ∠ACO=∠CAO. ∴ ∠FAC=∠ACO. ∴ AD∥OC. ∵ CD⊥AF, ∴ CD⊥OC. ∵ OC为☉O 的半径, ∴ CD 是☉O 的切线. (2) 如图,过点 O 作OE⊥AF 于 点E. ∴ AE=EF=12AF ,易得∠OED= ∠EDC=∠OCD=90°. ∴ 四边形OEDC为矩形. ∴ CD=OE=3,DE=OC. 设☉O 的半径为r,则 OA=OC= DE=r. ∴ AE=9-r. ∵ 在 Rt△OAE 中,OA2-AE2= OE2, ∴ r2-(9-r)2=32,解得r=5. ∴ ☉O 的半径为5. (第11题) 12. 如图,连接DO,EO. ∵ ☉O 是△ABC 的内切圆,切点分 别为D,E,F, ∴ OE⊥AC,OD⊥BC,CD=CE, BD=BF=2,AF=AE=3. 又∵ ∠C=90°, ∴ 易得四边形OECD 是正方形. 设EC=CD=x,则BC=x+2,AC= x+3. 在Rt△ABC中,BC2+AC2=AB2