第14章 专题特训十运用勾股定理解决最短路径问题-【拔尖特训】2023-2024学年八年级上册数学 华东师大版

专题特训十　运用勾股定理解决 最短路径问题 ▶ “答案与解析”见P45 类型一 圆柱体侧面上的最短路径问题 1. 如图,一只螳螂在一圆柱形松树树干的点A 处,发现它的正上方点B 处有一只虫子,螳 螂想捕捉到这只虫子,但又怕被发现,于是准 备按如图所示的路线,绕到虫子后面吃掉它. 已知树干的底面周长为40cm,A、B 两点之 间的距离为30cm.若螳螂想吃掉点B 处的 虫子,则螳螂绕行的最短路程为 ( ) A. 30cm B. 40cm C. 50cm D. 70cm (第1题) (第2题) 2. 我国古代有这样一道数学问题:一根枯木直 立在地上,高二丈,周三尺,有葛藤自根缠绕 而上,五周而达其顶,问葛藤之长几何? 题意 如下:如图,把枯木看成一个圆柱,则该圆柱 的高为2丈(1丈=10尺),底面周长为3尺, 有葛藤自点A 处缠绕而上,绕5周后其末端 恰好到达点B 处,则葛藤的最短长度是 尺. 类型二 多面体表面上的最短路径问题 3. 如图所示为一个底面是等边三角形的三棱 镜,在三棱镜的侧面上,从点A 到点A'镶有 一圈金属丝.若三棱镜的高为5cm,底面边 长为4cm,则金属丝的长度至少为 ( ) (第3题) A. 8cm B. 13cm C. 12cm D. 15cm 4. ★如图,长方体的长、宽、高分别为4cm、 2cm、5cm.若一只蚂蚁从点 P 开始经过 4个侧面爬行一圈到达点Q 处,则蚂蚁爬行 的最短路径长为 cm. (第4题) (第5题) 5. 如图,在一块长为20米、宽为18米的长方形 草地上,放着一根长方体木块.已知该木块的 较长边和草地的宽AD 平行,横截面是边长 为2米的正方形,一只蚂蚁从点A 处爬过木 块到 达 点 C 处 需 要 走 的 最 短 路 程 是 米. 6. 如图,一个长方体木柜放在墙角处 (与墙面和地面均没有缝隙),有一 只蚂蚁从柜角A 处沿着木柜表面爬 到柜角C1处. (1) 请画出蚂蚁能够最快到达目的地的可能 路径. (2) 当AB=4,BC=4,CC1=5时,求蚂蚁爬 过的最短路径的长. (第6题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 79 第14章　勾股定理 {#{QQABAQwEogCgABBAAAhCQwWCCgCQkAECCIoGQFAEoAAAgBFABAA=}#} 专题特训十　运用勾股定理 解决最短路径问题 1. C [解析]把这段圆柱形松树树干 看成用纸卷成的圆柱,沿AB 剪开,将 它展开成如图所示的图形,则线段 AB 的长即为所求的最短路程.在 Rt△ABC中,AB= AC2+BC2 = 402+302=50(cm). (第1题) 2. 25 [解析]如图,△ABC 的一条 直角边(即枯木的高)长20尺,另一条 直角边长5×3=15(尺),∴ 葛藤的最 短长度是 202+152=25(尺). (第2题) 3. B [解析]如图,将三棱柱的侧面 沿AA'展开,则线段AA'的长即为金 属 丝 的 最 短 长 度,∴ AA' = 52+(3×4)2=13(cm). (第3题) 4. 13 [解析]长方体的侧面展开图 如图所示,则PQ 即为蚂蚁爬行的最 短路径.∵ 长方体的长、宽、高分别为 4cm、2cm、5cm,∴ PA=2+4+2+ 4=12(cm),QA=5cm.∴ PQ= PA2+AQ2= 122+52=13(cm). (第4题) 解决几何体表面上两点间的 最短路径问题的方法 首先将几何体表面展开,即将 立体几何问题转化为平面几何问 题,然后利用两点之间线段最短去 确定路径,最后利用勾股定理进行 计算. 5. 30 [解析]如图,根据题意,得蚂 蚁所走的最短路程等于一个长方形的 对角线的长,易知该长方形的长为 20+2×2=24(米),宽为18米.∴ 该 蚂蚁从点A 处爬过木块到达点C 处 需要走的最短路程是 242+182= 30(米). (第5题) 6. (1) 如图,蚂蚁能够最快到达目的 地的可能路径为长方形ABC1D1 的 对角线AC1 或长方形ACC1A1 的对 角线AC1. (2) 蚂蚁沿着木柜表面经线段A1B1 到达 点 C1,爬 过 的 路