第14章 专题特训六构造全等三角形解题-2023-2024学年八年级上册数学【拔尖特训】沪科版

专题特训六　构造全等三角形解题 ▶ “答案与解析”见P37 类型一 补形法 1. 如图,在△ABC 中,BD 是∠ABC 的平分线, AD⊥BD,垂足为D.求证:∠2=∠1+∠C. (第1题) 2. 如图,在Rt△ABC 中,∠ACB=90°,AC= CB,D 为CB 的中点,CE⊥AD 于点E,延 长CE 交 AB 于 点 F,连 接 DF.求 证: ∠ADC=∠BDF. (第2题) 类型二 旋转法 3. 在四边形ABCD 中,点E,F 分别在 边BC,DC 上,连接AE,AF,EF. (1) 如图①,若四边形ABCD 为正 方形,且∠EAF=45°,求证:EF=BE+DF. (2) 如图②,若在四边形ABCD 中,AB=AD, ∠ABC+∠D=180°,∠EAF=12∠BAD , (1)中的结论是否仍然成立? 若成立,请给出 证明;若不成立,请说明理由. ① ② (第3题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 77 第14章　全等三角形 {#{QQABAQSEoggoABAAAAgCUwEiCAGQkAECCCoGAFAIoAAAQQNABAA=}#} 类型三 倍长中线法 4. 如图,AB⊥AC,AB=AC,AD⊥AE,AE= AD,F 为CD 的中点,试探究BE 与AF 之 间的位置关系,并说明理由. (第4题) 类型四 截长补短法 5. (2022·蚌埠期末)如图,AC∥BD,EA,EB 分别平分∠CAB 和∠DBA,CD 过点E.求 证:AB=AC+BD. (第5题) 类型五 作垂线法 6. 如图,在四边形ABCD 中,AD=CD,BD 平 分∠ABC,DE⊥AB 于点E.求证:AE+ BC=BE. (第6题) 类型六 作平行线法 7. 如图,在△ABC 中,∠BAC=60°, ∠C=40°,AP 平分∠BAC 交BC 于点P,BQ 平分∠ABC 交AC 于 点Q.求证:AB+BP=BQ+AQ. (第7题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 87 数学(沪科版)八年级上 {#{QQABAQSEoggoABAAAAgCUwEiCAGQkAECCCoGAFAIoAAAQQNABAA=}#} ∴ △BAD≌△CAE(AAS). ∴ AB=AC. ①③④→②. 理由:∵ ∠BAC=∠EAD, ∴ ∠BAC + ∠CAD = ∠EAD + ∠CAD,即∠BAD=∠CAE. 在△BAD 和△CAE 中, ∵ AB=AC, ∠BAD=∠CAE, AD=AE, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △BAD≌△CAE(SAS). ∴ ∠B=∠C. 7. ∵ ∠AEC=∠BAC=α, ∴ ∠ACE + ∠CAE =180°-α, ∠BAD+∠CAE=180°-α. ∴ ∠BAD=∠ACE. 在△BAD 和△ACE 中, ∵ ∠BDA=∠AEC, ∠BAD=∠ACE, AB=CA, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △BAD≌△ACE(AAS). ∴ AD=CE,BD=AE=3. ∴ AD=DE-AE=10-3=7. ∴ CE=AD=7. 8. (1) ∵ BD⊥DE,CE⊥DE, ∴ ∠ADB=∠CEA=90°. 在Rt△ABD 和Rt△CAE 中, ∵ AB=CA, AD=CE, ∴ Rt△ABD≌Rt△CAE(HL). ∴ ∠DAB=∠ECA. (2) AB⊥AC. 同理 (1),可 证 得 Rt△ABD ≌ Rt△CAE, ∴ ∠DAB=∠ECA. ∵ ∠CAE+∠ECA=90°, ∴ ∠CAE + ∠DAB = 90°,即 ∠BAC=90°. ∴ AB⊥AC. 专题特训六　构造全等 三角形解题 1.