专题4.3 等差数列的前n项和公式【六大题型】-2023-2024学年高二数学举一反三系列（人教A版2019选择性必修第二册）

专题4.3 等差数列的前n项和公式【六大题型】 【人教A版（2019）】 【题型1 求等差数列的通项公式】 2 【题型2 等差数列前n项和的性质】 2 【题型3 等差数列的前n项和与二次函数的关系】 3 【题型4 求等差数列的前n项和】 3 【题型5 等差数列前n项和的最值】 4 【题型6 等差数列的实际应用】 5 【知识点1 等差数列的前n项和公式】 1．等差数列的前n项和公式 等差数列的前n项和公式 =(公式一). =(公式二). 2．等差数列的前n项和公式与二次函数的关系 等差数列{}的前n项和==+(-)n，令=A，-=B，则=+Bn. (1)当A=0，B=0(即d=0，=0)时，=0是常数函数，{}是各项为0的常数列. (2)当A=0，B≠0(即d=0，≠0)时, =Bn是关于n的一次函数，{}是各项为非零的常数列. (3)当A≠0，B≠0(即d≠0，≠0)时，=+Bn是关于n的二次函数(常数项为0). 3．等差数列前n项和的性质 等差数列{an}的前n项和Sn的常用性质 性质1 等差数列中依次k项之和Sk,S2k-Sk,S3k-S2k, …组成公差为k2d的等差数列 性质2 若等差数列的项数为2n(n∈N*)，则，，； 若等差数列的项数为2n-1(n∈N*)，则(an是数列的中间项)，， 性质3 {an}为等差数列为等差数列 性质4 若{an},{bn}都为等差数列，Sn,Tn分别为它们的前n项和，则 【题型1 求等差数列的通项公式】 【例1】1．（2023秋·高二课时练习）已知数列的前n项和为，满足，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2022秋·山东菏泽·高二校考阶段练习）已知数列的前项和，则的通项公式为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2023·全国·高三专题练习）已知数列的所有项均为正数，其前项和为，且.则的通项公式为（     ） A． B． C． D． 【变式1-3】（2023秋·安徽合肥·高三校考期末）已知数列的前n项和为，，，则（    ） A．414 B．406 C．403 D．393 【题型2 等差数列前n项和的性质】 【例2】（2023秋·黑龙江牡丹江·高二校考期末）在等差数列中，已知，，则（    ） A．90 B．40 C．50 D．60 【变式2-1】（2023秋·甘肃金昌·高二校考阶段练习）设等差数列的前n项和为，若，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2023春·河南南阳·高二校联考期中）已知等差数列，若，，则（    ） A．30 B．36 C．24 D．48 【变式2-3】（2023秋·浙江嘉兴·高二统考期末）已知等差数列和的前项和分别为、，若，则（    ） A． B． C． D． 【题型3 等差数列的前n项和与二次函数的关系】 【例3】（2023·全国·高二专题练习）已知等差数列的前n项和为，若，且，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式3-1】（2023·高二课时练习）已知等差数列的前n项和为，若，，则当最小时，n的值为（    ） A．1010 B．1011 C．1012 D．2021 【变式3-2】（2023·全国·高二专题练习）在各项不全为零的等差数列中，是其前n项和，且，，则正整数k＝（    ） A．2020 B．2021 C．2022 D．2023 【变式3-3】（2023·全国·高二专题练习）在各项不全为零的等差数列中，是其前n项和，且，，则正整数k的值为（    ） A．2020 B．2021 C．2022 D．2023 【题型4 求等差数列的前n项和】 【例4】（2023秋·四川凉山·高二校考阶段练习）设等差数列前n项和是，若，则（    ） A．5 B．45 C．15 D．90 【变式4-1】（2023秋·福建宁德·高二校考阶段练习）若数列满足，且，则其前15项和（    ） A．135 B．105 C．90 D．75 【变式4-2】（2023春·河南开封·高三校考阶段练习）已知等差数列为递增数列，为其前项和，，则（    ） A．516 B．440 C．258 D．220 【变式4-3】（2023秋·江西吉安·高三校考开学考试）已知为等差数列，为其前项和，，则（    ） A．36 B．45 C．54 D．63 【题型5 等差数列前n项和的最值】 【例5】（2023秋·甘肃金昌·高二校考阶段练习）已知等差数列的前n项和为，，． (1)求数列的通项公式； (2)求的最小值及取得最小值时n的值． 【变式5-1】（2023春·贵州黔西·高二校考阶段练习）记为等差数列的前n项和，已知，从以下两个条件中任选其中一个给出解答．①