单元高难问题02不等式问题（上海各大名校30题专项训练）-【倍速学习法】2023-2024学年高一数学核心知识点与常见题型通关讲解练（沪教版2020必修第一册）

单元高难问题02不等式问题（各大名校30题专项训练） 【高难问题突破方案与技巧】 题型一、解不等式 高中数学中解不等式部分包括解一元二次不等式、可分解因式的高次不等式与分式不等式、含绝对值符号的不等式、无理不等式、指数对数不等式，每一类不等式的求解过程都有其本身特有的规律可循，关键是不等式的同解变形。 题型二、利用不等式性质证明不等式 （1）定理法（三角不等式） 对任意的实数a、b，有，且等号当且仅当ab≥0时成立. 另有： （2）作差法 （3）反证法等 题型三、利用不等式性质求最值 已知x＞0，y＞0，则 (1)如果xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是(简记：积定和最小)； (2)如果x＋y是定值q，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是(简记：和定积最大)． 应用平均值不等式求最值要注意：“一定，二正，三相等”，忽略某个条件，就会出错． 运用以上结论求最值要注意下列三个条件: ①一正:要求各数均为正数    ; ②二定:要求和或积为定值    ; ③三相等:要保证具备等号   成立的条件. 题型四、根据不等式性质求范围 对参数的分类讨论是解答含参数不等式的最为重要、最为核心的思想方法。当然，分类要全面，要做到不重不漏，含有参数的不等式恒成立问题的讨论和求解，途径之一是转化为函数，结合函数的图像，正确运用函数的性质再一次转化为不等式组求解，有时候需转化为多个不等式组；途径之二是运用参变分离法.通常解答含参数数学问题总是把注意力集中在主变元上，思考探求参变元的取值或其范围，这种思考当然是可以的，但有时解题过程会非常烦琐。若注意考查命题的求解趋势，依从条件与结论的内在联系变换思考方向，视其参变元为主元进行研究、推导，也能找到解决问题的途径，有时还能获得问题的妙思巧解，这就是“反客为主”分离参数的方法，参变分离法就是把所求参变量与其他变量分离开来，通过研究其他变量构成的解析式的性质来确定所求参变量的范围。参变分离的过程实质是把原问题化归为另一领域的数学问题，通常是一个比较容易操作的问题。这一解法具有思路清晰、有章可循、解法简洁的特点。 求参数的值或取值范围的一般方法 （1）分离参数，转化为求代数式的最值问题． 通过参变分离，将问题转化为a≥f(x)（或a≤f(x)）求最值： a≥f(x)对x∈D恒成立a≥[f(x)]max; a≤f(x)对x∈D恒成立a≤[f(x)]min; a≥f(x)对x∈D有解a≥[f(x)]min; a≤f(x)对x∈D有解a≤[f(x)]max; a≥f(x)对x∈D无解a<[f(x)]min; a≤f(x)对x∈D无解a>[f(x)]max; (2)观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得参数的值或取值范围。 题型五、不等式的实际应用 (1)根据实际问题抽象出目标函数的表达式，再利用不等式性质求得函数的最值； (2)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数； (3)解应用题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围； (4)在应用不等式性质求函数最值时，若等号取不到，可利用函数的单调性求解。 【各大名校30题专项训练】 题型一、解不等式 1．（2022秋上海嘉定上大附中高一期中）若不等式|ax+1|＜b的解集为（﹣1，2），则实数a＝　 　． 2． （2022秋上海市复旦附中高一期中）设a，b∈R．已知关于x的不等式ax2﹣5x+b＞0的解集为，则不等式ax2+5x+b＜0的解集为 　 　． 3. （2022秋上海交大附中浦东实验学校高一期中）若关于x的不等式的解集为，则关于x的不等式的解集是________ 4. （2022秋上海松江二中高一期中）设关于的不等式组的解集为，则实数的取值范围为__________． 5. （2022秋上海华师大二附中高一期中）求解下列问题： （1）求不等式组的解集； （2）求关于x的不等式的解集． 题型二、利用不等式性质证明不等式 1．（2022秋上海市复旦附中高一期中）给定无理数θ∈（0，1）．若正整数a，b，c，d满足． （1）试比较三数，，的大小； （2）若bc﹣ad＝1，证明下面三个不等式中至少有一个不成立 ①；②；③． 2. （2021秋上海曹杨二中高一期中）已知不等式的解集为． 设实数，证明：． 题型三、利用不等式性质求最值问题 1.（2022秋上海嘉定上师大附中高一期中）若，则的最小值为________. 2.（2022秋上海市复旦附中高一期中）已知：x∈（0，），则的最小值为　 　． 3.（2022秋上海松江二中高一期中）已知，则的最小值为__________． 4．（2022春·上海闵行·高三上海市七宝中学校考开学考试）已知正数满足，则的最小值为（    ） A． B．