3.1.3 函数的奇偶性6种常见考法归类-【考点通关】2023-2024学年高一数学高频考点与解题策略(人教B版2019必修第一册)

3.1.3 函数的奇偶性6种常见考法归类 1、奇、偶函数的定义 偶函数 奇函数 条件 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有－x∈D，且 f(－x)＝f(x) f(－x)＝－f(x) 结论 则称y＝f(x)为偶函数 则称y＝f(x)为奇函数 定义域特征 定义域关于原点对称 等价形式 若f(x)≠0，则＝－1⇔f(x)为奇函数，＝1⇔f(x)为偶函数 2、利用定义法判断函数奇偶性的步骤 (1)一看定义域．定义域D要具有对称性，即对∀x∈D，－x∈D，也就是说奇、偶函数的定义域要关于原点对称，定义域不关于原点对称时，f(x)是非奇非偶函数． (2)二看等式．当f(x)的定义域关于原点对称时，要看f(x)与f(－x)的关系： ①f(－x)＝f(x)⇔f(x)是偶函数； ②f(－x)＝－f(x)⇔f(x)是奇函数； ③f(－x)≠±f(x)⇔f(x)是非奇非偶函数； ④f(－x)＝±f(x)⇔f(x)既是奇函数又是偶函数，这样的函数只有一类，即f(x)＝0，x∈D，且D关于原点对称． 3、奇、偶函数的图像特征(几何意义) （1）奇函数的图像特征(几何意义) 奇函数的图像关于原点对称；反之，结论也成立，即图像关于原点对称的函数一定是奇函数． （2）偶函数的图像特征(几何意义) 偶函数的图像关于y轴对称；反之，结论也成立，即图像关于y轴对称的函数一定是偶函数． 注：(1)若f(x)是奇函数，点(x，f(x))在其图像上，则点(－x，f(－x))，即点(－x，－f(x))也在其图像上． (2)若f(x)是偶函数，点(x，f(x))在其图像上，则点(－x，f(－x))，即点(－x，f(x))也在其图像上． 4、函数奇偶性判断的方法 (1)定义法： (2)图像法：若函数的图像关于原点对称，则函数为奇函数；若函数图像关于y轴对称．则函数为偶函数．此法多用在解选择、填空题中．　　 (3)性质法：两个奇函数的和仍为奇函数；两个偶函数的和仍为偶函数；两个奇函数的积是偶函数；两个偶函数的积是偶函数；一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数. (4)分段函数奇偶性的判断 判断分段函数的奇偶性时，通常利用定义法判断.分段函数不是几个函数，而是一个函数.因此其判断方法也是先考查函数的定义域是否关于原点对称，然后判断与的关系.首先要特别注意与的范围，然后将它代入相应段的函数表达式中，与对应不同的表达式，而它们的结果按奇偶函数的定义进行比较. 5、函数奇偶性的图像特征 根据奇偶函数在原点一侧的图像求解与函数有关的值域、定义域、不等式问题时，应根据奇偶函数图像的对称性作出函数在定义域另一侧的图像，根据图像特征求解问题．　　 6、利用函数奇偶性求参数的解题思路 奇、偶函数的定义既是判断函数是否具有奇偶性的一种方法，也是在已知函数奇偶性时可以运用的一个性质，解题时要注意奇、偶函数的定义的正用和逆用．利用函数的奇偶性求参数一般有如下两种题型． (1)定义域含参，需根据定义域关于坐标原点对称列式求解． (2)解析式含参，需根据f(x)＝f(－x)或f(x)＝－f(－x)列式，比较各项的系数求解．　　 7、利用函数奇偶性求函数解析式的方法 已知函数f(x)的奇偶性及函数f(x)在某区间上的解析式，求该函数在整个定义域上的解析式的方法如下： (1)求哪个区间上的解析式，x就设在那个区间上； (2)把x对称转化到已知区间上，代入到已知区间上的函数解析式中； (3)利用f(x)的奇偶性将f(－x)用－f(x)或f(x)表示，从而求出f(x). 注意：若奇函数定义域包含0，则必有f(0)＝0.　 8、函数奇偶性和单调性的关系 (1)若f(x)是奇函数，且f(x)在[a，b]上是单调函数，则f(x)在[－b，－a]上也为单调函数，且具有相同的单调性． (2)若f(x)是偶函数，且f(x)在[a，b]上是单调函数，则f(x)在[－b，－a]上也为单调函数，且具有相反的单调性． 9、利用单调性和奇偶性解不等式的方法 (1)充分利用已知的条件，结合函数的奇偶性，把已知不等式转化为f(x1)>f(x2)或f(x1)<f(x2)的形式，再利用单调性脱掉“f”求解． (2)在对称区间上根据奇函数的单调性一致，偶函数的单调性相反，列出不等式或不等式组，求解即可，同时要注意函数自身定义域对参数的影响． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 考点一 函数奇偶性的判断 考点二 函数奇偶性的图像特征 考点三 利用函数奇偶性求参数 考点四 利用函数奇偶性求值 考点五 利用函数奇偶性求解析式 考点六 函数单调性与奇偶性的综合应用