课时跟踪检测（8）指数函数与对数函数的关系（Word练习）- 【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学必修第二册（人教B版2019）

3 / 4 课时跟踪检测（八）指数函数与对数函数的关系 1.函数y＝logx(x>0)的反函数是(　 ) A.y＝x，x>0 B.y＝x，x∈R C.y＝x2，x∈R D.y＝2x，x∈R 解析：选B　互为反函数的一组对数函数和指数函数的底数相同. 2.已知函数f(x)＝3x－1，则它的反函数y＝f－1(x)的大致图象是(　 ) 解析：选C　由f(x)＝3x－1，可得f －1(x)＝log3x＋1，所以图象为C. 3.(多选)若函数y＝f(x)存在反函数y＝f －1(x)，则关于函数y＝f(x)和y＝f －1(x)，下列说法正确的是(　 ) A.存在函数y＝f(x)，使y＝f(x)与y＝f －1(x)的图象关于原点对称 B.单调性相同 C.不可能同时是奇函数 D.如果图象存在交点，则交点一定在直线y＝x上 解析：选AB　若f(x)＝x，则反函数f －1(x)＝x，此时y＝f(x)与y＝f －1(x)的图象关于原点对称，A正确；y＝f(x)与y＝f －1(x)的单调性相同，B正确；f(x)＝x与f －1(x)＝x同时为奇函数，排除C；函数f(x)＝存在反函数f －1(x)＝，此时y＝f(x)与y＝f－1(x)的图象重合，它们有无数个交点不在直线y＝x上，排除D.故选A、B. 4.(多选)下列说法正确的是(　 ) A.函数y＝ax与y＝x的图象关于y轴对称 B.函数y＝logax与y＝logx的图象关于y轴对称 C.函数y＝ax与y＝logax的图象关于直线y＝x对称 D.函数y＝ax与y＝logax的图象关于y轴对称 解析：选AC　函数y＝ax与y＝x＝a－x的图象关于y轴对称，故A正确； 函数y＝logax与y＝logx＝－logax的图象关于x轴对称，故B不正确； 函数y＝ax与y＝logax的图象关于直线y＝x对称，故C正确，D不正确. 5.若函数y＝f(x)是函数y＝ax(a>0且a≠1)的反函数，其图象经过点，则a等于(　 ) A. B.2 C. D. 解析：选A　因为点在y＝f(x)的图象上， 所以点在y＝ax的图象上，则有＝a， 即a2＝2.又因为a>0，所以a＝. 6.已知函数f(x)与g(x)＝ex互为反函数，函数y＝h(x)的图像与y＝f(x)的图像关于x轴对称.若h(a)＝1，则实数a的值为(　 ) A.－e B.－ C. D.e 解析：选C　∵函数f(x)与函数g(x)＝ex互为反函数，∴f(x)＝ln x. ∵函数y＝h(x)的图像与y＝f(x)的图像关于x轴对称，∴h(x)＝－ln x. ∵h(a)＝1，∴a＝.故选C. 7.设函数f(x)＝loga(x＋b)(a>0且a≠1)的图象过点(2,1)，其反函数的图象过点(2,8)，则a＋b等于(　 ) A.3 B.4 C.5 D.6 解析：选B　f(x)＝loga(x＋b)的反函数为f－1(x)＝ax－b.又f(x)的图象过点(2,1)， ∴f－1(x)的图象过点(1,2)， ∴解得或 又a>0，∴∴a＋b＝4. 8.设函数f(x)＝log2x＋3，x∈[1，＋∞)，则f－1(x)的定义域是________. 解析：f－1(x)的定义域为f(x)的值域， ∵x≥1，∴log2x≥0，∴log2x＋3≥3， ∴f－1(x)的定义域为[3，＋∞). 答案：[3，＋∞) 9.已知函数f(x)与函数g(x)＝logx的图象关于直线y＝x对称，则函数f(x2＋2x)的单调递增区间是________. 解析：由题意得f(x)＝x，∴f(x2＋2x)＝x2＋2x.∵f(x)在R上是减函数， ∴由同增异减的原则可知，所求函数的单调递增区间即为t＝x2＋2x的单调递减区间，即(－∞，－1]. 答案：(－∞，－1] 10.已知函数y＝f(x)是奇函数，当x≥0时，f(x)＝3x－1，设f(x)的反函数是y＝g(x)，则g(－8)＝________. 解析：当x<0时，－x>0，∴f(－x)＝3－x－1. 又f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)， ∴f(x)＝－3－x＋1， ∴f(x)＝ 又由y＝f(x)与y＝g(x)互为反函数，可知求g(－8)即求f(x)＝－8时的x. 当x≥0时，f(x)＝－8，即3x－1＝－8， ∴3x＝－7<0无解.当x<0时，f(x)＝－8， 即－3－x＋1＝－8，∴x＝－2，即g(－8)＝－2. 答案：－2 11.已知函数f(x)＝2x的反函数为f －1(x). (1)若f －1(x)－f －1(1－x)＝1，求实数x的值； (2)若关于x的方程f(x)＋f(1－x)－m＝0在区间[1,2]内有解，求实数m的取值范围. 解：(1)由题意可得f －1(x)＝log2x(x＞0)， 所以log2