专题4.2 等差数列的概念【六大题型】-2023-2024学年高二数学举一反三系列（人教A版2019选择性必修第二册）

专题4.2 等差数列的概念【六大题型】 【人教A版（2019）】 【题型1 等差数列的基本量的求解】 2 【题型2 等差中项】 2 【题型3 等差数列的通项公式】 3 【题型4 等差数列的单调性】 4 【题型5 等差数列的判定与证明】 4 【题型6 利用等差数列的性质解题】 6 【知识点1 等差数列的概念与通项公式】 1．等差数列的概念 (1)等差数列的概念 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫 做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，常用字母d表示. (2)对等差数列概念的理解 ①“从第2项起”是因为首项没有“前一项”. ②由概念可知，如果- ()恒等于一个常数，那么数列{}就是等差数列. ③如果一个数列，不是从第2项起，而是从第3项或以后起，每一项与它的前一项的差是同一常数， 那么这个数列不是等差数列. ④若数列从第2项起，每一项与它的前一项的差尽管都等于常数，但这些常数不都相等，那么这个数 列不是等差数列. ⑤对于公差d，需要强调的是它是从第2项起，每一项与其前一项的差，不要把被减数与减数弄颠倒. 2．等差中项 由三个数a,A,b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列，这时A叫做a与b的等差中项，则有 2A=a+b.反之，若2A=a+b，则a,A,b三个数成等差数列. 3．等差数列的通项公式 (1)等差数列的通项公式 等差数列的通项公式为=+(n-1)d，其中为首项，d为公差. (2)等差数列通项公式的变形 已知等差数列{}中的任意两项， (n,m,m≠n)，则 -=(n-m)d 【题型1 等差数列的基本量的求解】 【例1】（2023春·广东佛山·高二校考阶段练习）已知数列是公差为-2的等差数列，且，则首项（    ） A．41 B．43 C．-39 D．-43 【变式1-1】（2023秋·甘肃金昌·高二校考阶段练习）在数列中，，，，则18是数列中的（    ） A．第3项 B．第4项 C．第5项 D．第6项 【变式1-2】（2023春·辽宁沈阳·高二校联考期中）数列是首项为的等差数列，若，则的通项公式是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】．（2023秋·福建宁德·高二校考开学考试）首项为的等差数列，从第项起开始为正数，则公差的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【题型2 等差中项】 【例2】（2023春·山东日照·高二统考期中）已知，，则a，b的等差中项为（    ） A． B． C．1 D． 【变式2-1】（2023·全国·高三专题练习）已知和的等差中项是4，和的等差中项是5，则和的等差中项是（    ） A．8 B．6 C． D．3 【变式2-2】（2023秋·甘肃金昌·高二校考阶段练习）在等差数列中，若，则（    ） A．13 B．26 C．39 D．52 【变式2-3】（2023春·山东潍坊·高二校考阶段练习）已知数列满足，，若，则（    ） A．9 B． C．10 D． 【题型3 等差数列的通项公式】 【例3】（2023秋·河南三门峡·高二统考期末）若数列满足，，则数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（2023春·山西晋城·高二校考阶段练习）在数列中，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（2023春·山东青岛·高二校考阶段练习）已知数列的前n项和为，满足，则（   ） A．4043 B．4042 C．4045 D．4044 【变式3-3】（2023·全国·高三专题练习）图1是第七届国际数学教育大会（简称ICME­7）的会徽图案，会徽的主体图案是由如图2所示的一连串直角三角形演化而成的，其中，如果把图2中的直角三角形继续作下去，记的长度构成的数列为，由此数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 【知识点2 等差数列的性质】 1．等差数列与一次函数的关系 由等差数列的通项公式=+(n-1)d，可得=dn+(-d)，当d=0时，=为常数列，当d≠0时，= +(n-1)d是关于n的一次函数，一次项系数就是等差数列的公差，因此等差数列{}的图象是直线y=dx+(-d)上一群均匀分布的孤立的点. 2．等差数列的单调性 由等差数列的通项公式和一次函数的关系可知等差数列的单调性受公差d影响. ①当d>0时，数列为递增数列，如图①所示； ②当d<0时，数列为递减数列，如图②所示； ③当d=0时，数列为常数列，如图③所示. 因此，无论公差为何值，等差数列都不会是摆动数列. 3．等差数列的性质 设{}为等差数列，公差为d，则 (1)若m+n=p+q(m,n,p,q)，则+=+. (2)数列{+b}(,b是常数)是公差为d的等差数列. (3)若{}是公差为