专题4.1 数列的概念【六大题型】-2023-2024学年高二数学举一反三系列（人教A版2019选择性必修第二册）

专题4.1 数列的概念【六大题型】 【人教A版（2019）】 【题型1 根据数列的前几项写出数列的一个通项公式】 2 【题型2 判断数列的项】 3 【题型3 根据数列的递推公式求数列的项、通项公式】 4 【题型4 数列的单调性的判断】 4 【题型5 数列的周期性】 5 【题型6 求数列的最大项、最小项】 5 【知识点1 数列的概念】 1．数列的概念 数列的定义 一般地，把按照确定的顺序排列的一列数称为数列.数列中的每一个数叫做这个数列的项，数列的第一 个位置上的数叫做这个数列的第1项，常用符号表示，第二个位置上的数叫做这个数列的第2项，用表示第n个位置上的数叫做这个数列的第n项，用表示.其中第1项也叫做首项. 2．数列的分类 分类标准 名称 含义 举例 按项的 个数 有穷数列 项数有限的数列 1,2,3,…,n 无穷数列 项数无限的数列 1,0,1,0,1,0,… 按项的 变化趋势 递增数列 从第2项起，每一项都大于它的前一 项的数列 3,4,5,6,…,n+2 递减数列 从第2项起，每一项都小于它的前一 项的数列 -1,-2,-3,…,-n 常数列 各项相等的数列 0,0,0,0,… 摆动数列 从第2项起，有些项大于它的前一 项，有些项小于它的前一项的数列 1,-2,3,-4,… 3．数列的通项公式 如果数列{}的第n项与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这 个数列的通项公式. 4．数列的递推公式 (1)递推公式的概念 如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子就叫做这个数列的递推公式. (2)对数列递推公式的理解 ①与“不一定所有数列都有通项公式”一样，并不是所有的数列都有递推公式. ②递推公式是给出数列的一种方法.事实上，递推公式和通项公式一样，都是关于项的序号n的恒等式. 如果用符合要求的正整数依次去替换n，就可以求出数列的各项. ③用递推公式求出一个数列，必须给出： 基础——数列{}的第1项(或前几项)； 递推关系——数列{}的任意一项与它的前一项 ()(或前几项)间的关系，并且这个关系可 以用等式来表示. 5．数列表示方法及其比较 优点 缺点 通项 公式法 便于求出数列中任意指定的一项，利于对数列性质进行研究 一些数列用通项公式表示比较困难 列表法 内容具体、方法简单，给定项的序号，易得相应项 确切表示一个无穷数列或项数比较多的有穷数列时比较困难 图象法 能直观形象地表示出随着序号的变化，相应项的变化趋势 数列项数较多时用图象表示比较困难 递推 公式法 可以揭示数列的一些性质，如前后几项之间的关系 不容易了解数列的全貌，计算也不方便 6．数列的前n项和 数列{}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{}的前n项和，记作，即=+++. 如果数列{}的前n项和与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做 这个数列的前n项和公式. =. 【题型1 根据数列的前几项写出数列的一个通项公式】 【例1】（2023秋·福建宁德·高二校考阶段练习）数列的一个通项公式为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2023春·江西上饶·高二校考阶段练习）数列，3，，15，的一个通项公式可以是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2023·全国·高二专题练习）若数列的前6项为：1，，，，，，则数列的通项为（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（2023·全国·高三专题练习）给出以下通项公式： ①；②；③，其中可以作为数列，，，，，，…的通项公式的是（    ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【题型2 判断数列的项】 【例2】（2023春·辽宁沈阳·高二校联考期中）在数列，，，，…，，…中，是它的（    ） A．第8项 B．第9项 C．第10项 D．第11项 【变式2-1】（2023春·河南洛阳·高二校考阶段练习）已知数列，…，，则是这个数列的（    ） A．第20项 B．第21项 C．第22项 D．第23项 【变式2-2】（2023春·浙江·高二校联考期末）数列首项为，接下来项为，再接下来项为，再后面项为，以此类推（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（2023春·辽宁铁岭·高二校联考期末）已知数列，则该数列的第2024项为（    ） A． B． C． D． 【题型3 根据数列的递推公式求数列的项、通项公式】 【例3】（2023春·河南南阳·高二校考阶段练习）已知数列的项满足，而，则＝（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（2023春·辽宁沈阳·高二