4.1.3 独立性与条件概率的关系-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册（人教B版）

4.1.3　独立性与条件概率的关系 情境导入 课程标准 　　根据我国民间流传寓意深刻的谚语“三个臭皮匠,顶个诸葛亮”设计这样一个问题: 已知诸葛亮想出计谋的概率为0.9,三个臭皮匠甲、乙、丙各自想出计谋的概率各为0.6,0.5,0.4。 你认为这三个臭皮匠能胜过诸葛亮吗? 1.理解相互独立事件的定义及意义。 2.理解概率的乘法公式。 3.运用互斥事件的概率加法公式及独立事件的乘法公式解题。 自主预习明新知 　 知识点一、相互独立事件的定义 若事件A的发生对事件B发生的概率没有影响,即P(B|A)=P(B),则称两个事件A,B相互独立。 知识点二、相互独立事件的性质 如果事件A与B相互独立,那么A与,与B,与也都相互独立。 知识点三、相互独立事件同时发生的概率公式 如果事件A与B相互独立,那么P(A∩B)=P(A)×P(B)。 微提醒 　　求相互独立事件的概率,首先要分析题意,判断所给事件是否相互独立,然后选用公式求解,在具体解题中,常常与互斥事件、古典概型等联系在一起,用到排列组合等知识,要注意正确地选择解题方法。 微思考 　　互斥事件与相互独立事件的区别? 提示: 相互独立事件 互斥事件 条件 事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响 不可能同时发生的两个事件 符号 相互独立事件A,B同时发生,记作:AB 互斥事件A,B中有一个发生,记作:A∪B(或A+B) 计算公式 P(A∩B)=P(A)P(B) P(A∪B)=P(A)+P(B) 合作探究攻重难 　 类型一　相互独立事件的判断 　　【例1】　判断下列各对事件是否是相互独立事件。 (1)甲组有3名男生,2名女生;乙组有2名男生,3名女生。现从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛,“从甲组中选出1名男生”与“从乙组中选出1名女生”; (2)容器内盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球,“从8个球中任意取出1个,取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个,取出的还是白球”; (3)掷一颗骰子一次,“出现偶数点”与“出现3点或6点”。 解　(1)“从甲组中选出1名男生”这一事件是否发生,对“从乙组中选出1名女生”这一事件发生的概率没有影响,所以它们是相互独立事件。 (2)“从8个球中任意取出1个,取出的是白球”的概率为,若这一事件发生了,则“从剩下的7个球中任意取出1个,取出的仍是白球”的概率为;若前一事件没有发生,则后一事件发生的概率为,可见,前一事件是否发生,对后一事件发生的概率有影响,所以二者不是相互独立事件。 (3)记A:出现偶数点,B:出现3点或6点,则A={2,4,6},B={3,6},AB={6},所以P(A)==,P(B)==,P(A∩B)=。所以P(A∩B)=P(A)P(B),所以事件A与B相互独立。 　　三种方法判断两事件是否具有独立性 (1)定义法:直接判定两个事件的发生是否相互影响。 (2)公式法:检验P(AB)=P(A)P(B)是否成立。 (3)条件概率法:当P(A)>0时,可用P(B|A)=P(B)判断。 【变式训练】　(1)下列事件中,A,B是相互独立事件的是 (A) A.一枚硬币掷两次,A={第一次为正面},B={第二次为反面} B.袋中有2白,2黑的小球,不放回地摸两球,A={第一次摸到白球},B={第二次摸到白球} C.掷一枚骰子,A={出现点数为奇数},B={出现点数为偶数} D.A={人能活到20岁},B={人能活到50岁} 解析　把一枚硬币掷两次,对于每次而言是相互独立的,其结果不受先后影响,故A项是独立事件;B中是不放回地摸球,显然A事件与B事件不相互独立;对于C,A,B应为互斥事件,不相互独立; D项是条件概率,事件B受事件A的影响。 　　(2)分别抛掷两颗质地均匀的骰子,A={第一颗骰子出现奇数点},B={第二颗骰子出现偶数点},判定事件A,B是否相互独立。 解　分别抛掷两颗质地均匀的骰子,则A={第一颗骰子出现1,3,5点},共有3种结果。B={第二颗骰子出现2,4,6点},共有3种结果。A∩B={第一颗骰子出现奇数点,第二颗骰子出现偶数点},共有·=9种结果。由于每种结果的出现均是等可能的,由古典概型的有关知识可得P(A)==,P(B)==,P(A∩B)===。所以P(A∩B)=P(A)·P(B),即事件A、事件B相互独立。 类型二　相互独立事件的概率 　　【例2】　针对某种病毒,各国医疗科研机构都在研究疫苗。现有A,B,C三个独立的研究机构在一定的时期内能研制出疫苗的概率分别是,,。求: (1)他们都研制出疫苗的概率; (2)他们都失败的概率。 解　令事件A,B,C分别表示A,B,C三个独立的研究机构在一定时期内能研制出该疫苗,依题意可知,事件A,B,C相互独立,且P(A)