精品解析：广东省七校联合体2024届高三上学期开学第一次联考（8月）数学试题

七校联合体2024届高三第一次联考试卷（8月） 数学科目 命题学校：潮阳一中 命题人：姚超 审题人：马文燕 一．单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 已知集合A＝{﹣1，0，1}，B＝{x|﹣1＜x＜2}，则A∩B子集个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 若复数满足（i是虚数单位），则的模长等于（ ） A. 1 B. C. D. 3. 已知向量，且，则等于（ ） A. 5 B. C. D. 4. 函数在区间上不单调，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 已知、是椭圆的两个焦点，满足的点总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（ ）． A. B. C. D. 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 7. 在等比数列中，公比为.已知，则是数列单调递减的（ ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分又不必要 8. 已知函数（，）在上单调递增，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二．多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 数据1，2，3，3，4，5的平均数和中位数相同 B. 数据6，5，4，3，3，3，2，2，1的众数为3 C. 有甲、乙、丙三种个体按3：1：2的比例分层抽样调查，如果抽取的甲个体数为9，则样本容量为30 D. 甲组数据的方差为4，乙组数据为5，6，9，10，5，则这两组数据中较稳定的是乙组 10. 尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家经过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放的能量（单位：焦耳）与地震里氏震级之间的关系为，则下列说法正确的是（ ） A. 地震释放的能量为焦耳时，地震里氏震级为七级 B. 八级地震释放的能量为七级地震释放的能量的6.3倍 C. 八级地震释放的能量为六级地震释放的能量的1000倍 D. 记地震里氏震级为，地震释放能量为，则 11. 若函数同时满足：（1）对于定义域内任意，有；（2）对于定义域内的任意，，当时，有，则称函数为“理想函数”．给出下列四个函数是“理想函数”的是（ ） A. B. C. D. 12. 已知四面体的所有棱长均为，则下列结论正确的是（ ） A. 异面直线与所成角为 B. 点到平面的距离为 C. 四面体的外接球体积为 D. 动点在平面上，且与所成角为，则点轨迹是椭圆 三．填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分） 13. 某医院传染病科室有5名医生．4名护士，现从这9名医护人员中选取5名参加医院组织的运动会，要求其中至少有2名医生．2名护士，则不同的选取方法有______种． 14. 在正方体中，点为侧棱上一点，且，平面将该正方体分成两部分，其体积分别为，则__________． 15. 已知函数y＝的图象与函数y＝kx－2的图象恰有两个交点，则实数k的取值范围是________． 16. 已知点在线段上，是的角平分线，为上一点，且满足，设则在上的投影向量为__________．（结果用表示）． 四．解答题 17. 已知锐角的内角的对边分别为，． （1）求； （2）若，求面积的取值范围． 18. 已知直三棱柱中，侧面为正方形，，E，F分别为和的中点，D为棱上的点． （1）证明：； （2）当为何值时，面与面所成的二面角的正弦值最小? 19. 设为实数，函数，． （1）求的极值； （2）对于，，都有，试求实数的取值范围． 20. 记为等差数列的前项和，已知． （1）求的通项公式； （2）求数列的前项和． 21. 已知椭圆的焦距为2，且经过点． （1）求椭圆C的方程； （2）经过椭圆右焦点F且斜率为的动直线l与椭圆交于A、B两点，试问x轴上是否存在异于点F的定点T，使恒成立？若存在，求出T点坐标，若不存在，说明理由． 22. 规定抽球试验规则如下：盒子中初始装有白球和红球各一个，每次有放回的任取一个，连续取两次，将以上过程记为一轮．如果每一轮取到的两个球都是白球，则记该轮为成功，否则记为失败．在抽取过程中，如果某一轮成功，则停止；否则，在盒子中再放入一个红球，然后接着进行下一轮抽球，如此不断继续下去，直至成功． （1）某人进行该抽球试验时，最多进行三轮，即使第三轮不成功，也停止抽球，记其进行抽球试验轮次数为随机变量，求的分布列和数学期望； （2）为验证抽球试验成功的概率不超过，有1000名数学爱好者独立的进行该抽球试验，记表示成功时抽球试验的轮次数，表示对应的人数，部分统计数据如下： 1 2