第六章 专题特训七反比例函数与几何图形的综合应用-2023-2024学年九年级上册数学【拔尖特训】北师大版

　　专题特训七　反比例函数与几何图形的综合应用 ▶ “答案与解析”见P55 类型一 反比例函数与三角形的综合应用 1. 如图,OA=OB,∠AOB=90°, A,B 分别在函数y= k1 x (x>0) y= k2 x (x>0)的图象上,且点A 的坐标为 (1,4). (1) 求k1,k2的值. (2) 若点C,D 分别在函数y= k1 x (x>0)和 y= k2 x (x>0)的图象上,且不与点A,B 重 合,是 否 存 在 点 C,D,使 得 △COD ≌ △AOB? 若存在,请直接写出点C,D 的坐 标;若不存在,请说明理由. (第1题) 类型二 反比例函数与四边形的综合应用 2. 如图,在矩形OABC 中,OA=3 OC=5,分别以OA,OC 所在直线为 x轴、y轴,建立平面直角坐标系,D 是边BC 上的一个动点(不与点B,C 重合), 反比例函数y= k x (k>0,x>0)的图象经过 点 D 且 与 边 AB 交 于 点 E,连 接 OE, AC,DE. (1) 若△AOE 的面积为2,则k= . (2) DE 与AC 是否平行? 请说明理由. (3) 是否存在点D,使得点B 关于直线DE 的对称点在OC 上? 若存在,求出点D 的坐 标;若不存在,请说明理由. (第2题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 99 第六章　反比例函数 {#{QQABBQQAogCAABJAAAhCUwHwCEGQkBECCIoGhAAEMAAAAAFABAA=}#} ∠BOC=∠CDA=90°, ∠OBC=∠DCA, BC=CA, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △BOC≌△CDA. ∴ OB=DC,OC=DA. ∵ C(2,0),B(0,4), ∴ AD=OC=2,CD=OB=4. ∴ A(6,2). ∵ 反比例函数y= k x (x>0)的图象 经过点A, ∴ 2=k6 ,解得k=12. ∴ 反比例函数的表达式为y= 12 x. (2) 设直线OA 对应的函数表达式为 y=tx. 把A(6,2)代 入,得2=6t,解 得 t=13. ∴ 直线OA 对应的函数表达式为y= 1 3x. 将直线OA 向上平移m 个单位长度 后所得直线对应的函数表达式为y= 1 3x+m. ∵ 点(1,n)在反比例函数y= 12 x (x> 0)的图象上, ∴ n=121=12. ∴ 直线OA 向上平移m 个单位长度 后经过点(1,12). 把(1,12)代入y= 1 3x+m ,得12= 1 3+m ,解得m=353. (第4题) 专题特训七　反比例函数 与几何图形的综合应用 1. (1) 过点A 作AG⊥y 轴于点G, 过点 B 作BH ⊥y 轴 于 点 H,则 ∠AGO=∠OHB=90°. ∵ 点A 的坐标为(1,4), ∴ k1=1×4=4,AG=1,OG=4. ∵ ∠AOB=90°, ∴ ∠AOG+∠BOH=90°. ∵ ∠BOH+∠OBH=90°, ∴ ∠AOG=∠OBH. ∵ OA=OB, ∴ △AGO≌△OHB. ∴ AG=OH=1,OG=BH=4. ∴ 点B 的坐标为(4,-1). ∴ k2=4×(-1)=-4. (2) 点C 的坐标为(4,1),点D 的坐 标为(1,-4). 2. (1) 4. (2) DE∥AC. 理由:设点D 的坐标为(x,5),则易知 点E 的坐标为 3,53x . ∵ 四边形OABC是矩形, ∴ AB=OC=5,BC=OA=3. ∴ BD=3-x,BE=5-53x. ∴ BD BE= 3-x 5-53x =35 ,BC AB= 3 5. ∴ BD BE= BC AB ,即BD BC= BE BA. 又∵ ∠B=∠B, ∴ △BDE∽△BCA. ∴ ∠BED=∠BAC. ∴ DE∥AC. (3) 存在. 设点D 的坐标为(x,5),则易知点E 的坐标为 3,53x . ∵ 四边形OABC是矩形, ∴ AB=OC=5,BC=OA=3. ∴ CD=x,AE=53x ,BD=3-x, BE=5-53x. 如图,假设存在点D,使得点