第四章 专题特训五相似三角形中的分类讨论问题-2023-2024学年九年级上册数学【拔尖特训】北师大版

　　　　　专题特训五　相似三角形中的分类讨论问题 ▶ “答案与解析”见P43 类型一 因相似三角形的对应元素不确定而引 起分类讨论 1. (2023·威海期末)一个三角形木架三边长分 别是75cm,100cm,120cm,王师傅要再做一 个与其相似的三角形木架,而现在只有长为 60cm和120cm的两根木条.要求以其中一 根为一边,从另一根截下两段作为另两边(允 许有余料),则不同的截法有 ( ) A. 一种 B. 两种 C. 三种 D. 四种 2. 如图,在直角梯形 ABCD 中,AD∥BC, ∠B=90°,AB=8,AD=3,BC=4,P 为边 AB 上的一个动点,连接PD,PC.若△PAD 与△PBC 是相似三角形,则满足条件的点P 的个数是 ( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 (第2题) (第3题) 3. 如图,P 是Rt△ABC 的斜边BC 上 异于点B,C 的一点,过点P 作直线 截 △ABC,使 截 得 的 三 角 形 与 △ABC 相似,满足这样条件的直线条数是 ( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. (2023·梅州期末)将三角形纸片(△ABC)按 如图所示的方式折叠,使点B 落在边AC 上, 记为点B',折痕为EF.已知AB=AC=3, BC=4.若△B'FC 与△ABC 相似,则BF 的 长是 . (第4题) 类型二 因位似图形或位似中心的不确定而引 起分类讨论 5. (2022·锦州模拟)如图,△AOB 三个顶点的 坐标分别为A(5,0),O(0,0),B(3,6),以 点O为位似中心,相似比为23 ,将△AOB 缩 小,则点B的对应点的坐标是 . (第5题) (第6题) 6. ★如图,直线y= 1 3x+1 与x轴、y轴分别交 于A,B 两点,△BOC 与△B'O'C'是以点A 为位似中心的位似图形,且相似比为1∶2, 则点B'的坐标为 . (第7题) 7. 如图,在平面直角坐标系中,△ABC 的顶点坐标分别为A(4,0),B(8 2),C(6,4).已知△A1B1C1 的两个 顶点坐标分别为(1,3),(2,5).若△ABC 和 △A1B1C1 位似,试画出△A1B1C1,并写出 第三个顶点的坐标. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 57 第四章　图形的相似 {#{QQABLQ6AogiAABJAAQhCQwWQCEGQkAACAIoGhAAAMAAAAQFABAA=}#} 5. (1) 如图①②,矩形DEFG 即为所 求作. (2) 过点A 作AM⊥BC 于点M,交 GF 于点N,则AN⊥GF. ∵ △ABC 的面积为12BC ·AM= 1 2×12AM=36 , ∴ AM=6. 设AN=x,则MN=6-x. ① 当 DE=2DG 时,易 知 DG= MN=6-x,DE=GF=2(6-x)= 12-2x. ∵ GF∥BC, ∴ 易知△AGF∽△ABC. ∴ GF BC= AN AM ,即12-2x 12 = x 6 ,解得 x=3. ∴ DG=3,DE=6. ∴ 矩形DEFG 的面积为6×3=18. ② 当 DG =2DE 时,同 理,可 得 AN=65. ∴ DG =6- 65 = 24 5 ,DE = 1 2DG= 12 5. ∴ 矩 形 DEFG 的 面 积 为245 × 12 5= 288 25. 综上所述,矩形DEFG 的面积为18 或288 25. (第5题) 第2课时 坐标系中的位似 1. B 2. (4,2) 3. (1) 如图,△OB'C'即为所求作. (2) 由图,可知点B'的坐标为(-6, 2),点C'的坐标为(-4,-2). (3) 点 M 的对应点 M'的坐标为 (-2x,-2y). (第3题) 4. A [解析]设点B'的横坐标为x. 过点B 作BM⊥x轴于点M,过点B' 作B'N⊥x轴于点N,则MC 的长为 a-1,NC 的 长 为-x+1.∵ 将 △ABC 的边长放大到原来的2倍得 到△A'B'C,∴ 易得2(a-1)=-x+ 1,解得x=-2a+3.故选A.