第四章 专题特训四相似三角形判定的常考模型-2023-2024学年九年级上册数学【拔尖特训】北师大版

专题特训四　相似三角形判定的常考模型 ▶ “答案与解析”见P35 类型一 平行线(A,X)型 模型示例:主要有两种类型:A型(如图①)和X型 (如图②),其中X型也可归于旋转型. 1. 如图,AB∥EF∥DC,AD∥BC,EF 与AC 交 于点G,则图中的相似三角形共有 ( ) A. 3对 B. 5对 C. 6对 D. 8对 (第1题) (第2题) 2. 如图,在矩形ABCD 中,AB=6,AD=8,点 E 在边AD 上,CE 与BD 相交于点F.设 DE=x,BF=y,当0≤x≤8时,y关于x的 函数表达式为 . 3. 三角形三条边上的中线交于一点,这个点叫 做三角形的重心.如图,点G 是△ABC 的重 心.求证:AD=3DG. (第3题) 类型二 翻折(相交线、母子)型 模型示例:主要包含相交线型(含有公共角或对顶 角),如图①所示;母子型(相交线的特殊情形),如图 ②所示. ① ② (第4题) 4. 如图,D,E 分别是△ABC 的边 AB,AC上的点,∠ADE=∠C. 若AD=2,AB=6,AC=4,则 AE的长是 ( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. (2022·泰安)如图,在矩形ABCD 中,点E 在DC 上,DE=BE,AC 与 BD 相交于点O,BE 与AC 相交于 点F. (1) 若BE 平分∠CBD,求证:BF⊥AC. (2) 找出图中与△OBF 相似的三角形,并说 明理由. (3) 若OF=3,EF=2,求DE 的长. (第5题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 36 第四章　图形的相似 {#{QQABJQ6EggCgAAIAAAgCQwHgCEGQkACCCAoGxBAMIAAAwQFABAA=}#} 类型三 一线三等(直)角型 模型示例:如图①所示为一线三等角型,如图②所示 为一线三直角型(一线三等角的特殊类型). ① ② 6. 如图,折叠矩形ABCD,使点D 落在边BC 上 的点F 处. (1) 求证:△ABF∽△FCE. (2) 若CD=8,CF=4,求矩形ABCD 的面积. (第6题) 7. 如图,在△ABC 中,AB=AC,P,D 分别是 边BC,AC 上的点,且∠APD=∠B. (1) 求证:AC·CD=PC·BP. (2) 若AB=10,BC=12,当PD∥AB 时,求 BP 的长. (第7题) 8. (2022· 永城模拟改编)如图,在 △ABC 中,∠BAC=120°,AB= AC=4,取边BC 上的中点D,连接 AD,E 为射线BA 上一点(不与点A,B 重 合),连接DE,将射线DE 绕点D 按顺时针 方向旋转30°交射线CA 于点F.当AE= 4AF 时,求AF 的长. (第8题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 46 数学(北师版)九年级上 {#{QQABJQ6EggCgAAIAAAgCQwHgCEGQkACCCAoGxBAMIAAAwQFABAA=}#} k(BD+BE). (第9题) 第3课时 三边判定相似 1. B 2. 47° 3. (1) ∵ AB AD= BC DE= AC AE , ∴ △ABC∽△ADE. ∴ ∠BAC=∠DAE. ∴ ∠BAC - ∠DAF = ∠DAE - ∠DAF,即∠BAD=∠CAE. (2) 由(1),得△ABC∽△ADE. ∴ ∠ABC=∠ADE. ∵ ∠ABC = ∠ABE + ∠EBC, ∠ADE=∠ABE+∠BAD, ∴ ∠EBC=∠BAD=21°. (3) 由(1),得∠BAD=∠CAE. ∵ AB AD= AC AE , ∴ AB A