第四章 7 第1课时相似三角形中线段的性质-2023-2024学年九年级上册数学【拔尖特训】北师大版

7　相似三角形的性质 第1课时 相似三角形中线段的性质 ▶ “答案与解析”见P40 1. 如果两个三角形的一组对应边长分别为 3cm,4.5cm,那么它们对应的角平分线的长 的比值为 ( ) A. 2 3 B. 3 2 C. 4 9 D. 9 4 (第2题) 2. 如 图,点 D,E 分 别 在 △ABC 的边AC,AB 上, △ADE∽△ABC,M,N 分 别是DE,BC 的中点.若 AM AN= 1 2 ,DE+BC=15,则 BC= . 3. 如图,△ABC 为锐角三角形,AD 是边BC 上 的高,正方形EFGH 的一边FG 在BC 上,顶 点E,H 分别在边AB,AC 上.已知BC= 40cm,AD=30cm. (1) 求证:△AEH∽△ABC. (2) 求正方形EFGH 的边长与面积. (第3题) 4. (2021·河北)如图①所示为装了液 体的高脚杯示意图,用去一部分液 体后如图②所示,此时液面AB 的 宽为 ( ) (第4题) A. 1cm B. 2cm C. 3cm D. 4cm (第5题) 5. 如图,在△ABC 中,E,F 分 别为AC,BC 的中点,D 是 边EC 上的一点,且BC2= AC·DC.若AC=6,BC= 3,DF=1.5,则BE 的长为 . 6. 如图,在△ABC 中,AB=8,BC=7,AC=6, 点D,E 分别在AB,AC 上,连接DE.如果 △ADE 和△ABC 相似,且对应角平分线的 比为1 4 ,求AD,AE 的长. (第6题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 07 数学(北师版)九年级上 {#{QQABLQYAggCAAgBAAQhCQwGQCkKQkAGCCKoGwBAAMAAAQBNABAA=}#} △AFG∽△AEH.∴ AG AH= FG EH ,即 1 1+5 = 3.2-1.6 x .∴ x = 9.6. ∴ EH=9.6m.∴ ED =EH + HD=9.6+1.6=11.2(m). 4. A [解析]如图,连接CA 并延长, 交FG 于点F',即当小红的眼睛的位 置到点F'处时,C,A,F'三点在同一 条直线上.由题意,得AB⊥l,CD⊥l. ∴ AB∥CD. ∴ ∠A H F'=∠C K F'. ∵ ∠A F'H=∠C F'K,∴ △F'AH∽ △F'CK.∴ F'H F'K= AH CK.∵ AB=8m, CD=12m,易得 HK=BD=5m, BH=DK=1.6m,∴ AH=AB- BH =6.4m,CK =CD -KD = 10.4m.设F'H=xm.∴ x (x+5)= 6.4 10.4.∴ x=8.∴ F'H=8m.∵ 在 前进的过程中,小红发现看不到右边 较高的树的顶端C,∴ 此时,她与左 边较低的树AB 之间的水平距离小于 8m.故选A. (第4题) 5. C [解析]如图,设BD 是BC 落 在地面上的影子,树的高度是xm.由 题意,易得CB BD= 1 0.8.∵ CB=1.2m, ∴ BD=0.96m.∴ 树落在地面上的 实际影长是0.96+2.6=3.56(m).由 题意,易得 x 3.56= 1 0.8 ,解得x=4.45. ∴ 树的高度是4.45m.故选C. (第5题) 影子拐弯问题的解决策略 利用影长测树高,若地面长度 不够,则影子会落在其他物体上,即 影子会拐弯.此时通过添加辅助线, 或延长光线,或截物高,或画光线的 平行线,从而构造三角形及特殊四 边形,利用它们的性质及相似三角 形的对应边成比例的性质即可求 解.特别地,若影子所落的物体与地 面垂直,则其上的影长对应着所测 物体的一段实际高度. 6. 由题意,易得AD∥EG. ∴ ∠ADO=∠EGF. ∵ AO⊥OD,EF⊥FG, ∴ ∠AOD=∠EFG=90°. ∴ △AOD∽△EFG. ∴ AO EF= OD FG. ∵ EF=1.8m,OD=20m,FG=2.4m, ∴ AO=OD ·EF FG =15m. 同理,可得△BOC∽△AOD. ∴ BO AO= OC OD. ∵ OC=16m, ∴