4.7相似三角形的性质（第1课时）教学设计 2024-2025学年北师大版数学九年级上册

《相似三角形的性质》(第1课时)教学设计 一、教材分析 本节课是北师大版《数学九年级(上)》第四章第七节第1课时.本课时研究相似三角形的性质,教材首先设置了房梁这一情境,引导学生探索相似三角形对应高、中线、角平分线的比等于相似比;接着“议一议”中通过两个相似三角形对应线段比等于相似比的讨论,引导学生感受“相似三角形对应线段的比等于相似比”. 二、学情分析 学生在之前七年级已经学习了全等图形的判定和性质,对全等三角形的对应边的比已有所了解.在本章又学习了相似图形的判定条件,对相似图形,特别是相似三角形已有一定的认识.通过前面的学习学生已经经历了一些关于相似三角形性质的探究.例如,利用相似三角形测量旗杆的高度等实际问题,感受到了数学的实际价值,利用相似三角形的性质解决问题的活动经验.本节主要研究相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比都等于相似比这一性质. 三、教学目标 1.经历探索相似三角形中对应线段比值与相似比的关系的过程,理解相似三角形的性质.利用相似三角形的性质解决一些实际问题. 2.培养学生的探索精神和合作意识;通过运用相似三角形的性质,增强学生的应用意识.在探索过程中发展学生类比的数学思想及全面思考的思维品质. 四、教学过程 (一)问题探究 1.探究活动一 在生活中,我们经常利用相似的知识解决建筑类问题.如图1,小王依据图纸上的 ABC,以1:2的比例建造了模型房的房梁 ,CD和分别是它们的立柱. (1)试写出 ABC与 的对应边之间的关系,对应角之间的关系. (2) ACD与 相似吗?为什么?如果相似,指出它们的相似比. (3)如果CD=1.5 cm,那么模型房的房梁立柱有多高? (4)据此,你可以发现相似三角形怎样的性质? 解:(1)===; ,,. (2) ACD∽ . ∵,, ∴. ∵, ∴ ACD∽ (两个角分别相等的两个三角形相似). ∴===. (3)∵=,CD=1.5 cm. ∴=3 cm. (4)相似三角形对应高的比等于相似比. 【设计意图】通过学生熟悉的建筑模型房入手,从相似三角形的最基本性质展开研究.使学生明确相似比与对应高的比的关系. 2.探究活动二 如图2,已知 ABC∽ , ABC与 的相似比为k,AD平分∠BAC,平分∠;E,分别为BC,的中点.试探究AD与的比值关系,AE与呢? 要求:类比探究,小组合作,至少证明其中一个结论. 解:(1)∵ ABC∽ , ∴,∠B=∠,=k. ∵AD平分∠BAC,平分∠, ∴. ∴ BAD∽ (两个角分别相等的两个三角形相似). ∴===k. (2)∵ ABC∽ , ∴ ∠B=∠,==k. ∵E,分别为BC,的中点, ∴,. ∴=. ∵==k, ∴==k. ∵∠B=∠, ∴ BAE∽ (两边成比例且夹角相等的两个三角形相似). ∴== =k. 小结:由此可知相似三角形还有以下性质,相似三角形对应角平分线的比和对应中线的比都等于相似比. 【设计意图】通过小组合作,类比前面的探究过程,提高学生主动探究意识、发展类比思维与归纳总结的能力. 3.探究活动三 如图3,已知 ABC∽ A′B′C′, ABC与 A′B′C′的相似比为 k(k >0), 点 D,E 在 BC 边上,点 D′,E′在B′C′边上 . (1)若∠BAD =∠BAC,∠B′A′D′ =∠B′A′C′,则等于多少? (2)若BE =BC,B′E′ =B′C′,则等于多少? (3)你能得到哪些结论? 解:(1)∵ ABC∽ , ∴,∠B=∠,=k. ∵,, ∴. ∴ BAD∽ (两个角分别相等的两个三角形相似). ∴===k. (2)∵ ABC∽ , ∴∠B=∠,==k. ∵, ∴=. ∵==k, ∴==k. ∵∠B=∠, ∴ BAE∽ (两边成比例且夹角相等的两个三角形相似), ∴== =k . (3)相似三角形对应角的n等分线的比和对应边的n等分线的比等于相似比. 【设计意图】通过问题探索,提升学生类比探究与独立解决问题的能力. (二)随堂练习 1.如图4,AD是 ABC的高,点P,Q在BC边上,点R在AC边上,点S 在AB边上,BC = 60 cm,AD = 40 cm,四边形PQRS是正方形. (1) ASR与 ABC相似吗?为什么? (2)求正方形PQRS的边长. 解:(1)∵ 四边形 PQRS 是正方形, ∴ RS∥BC. ∴ ∠ASR=∠B,∠ARS=∠C. ∴ ASR∽ ABC. (2)∵ ASR∽ ABC,∴ . 设正方形 PQRS 的边长为 x cm, 则 AE= (40–x) cm, 解得x = 24 . 答:正方形 PQRS 的边长为 24 cm. 2.两个相似三角形中一组对应角平分线的长分别是2 cm和5 cm,求这两个三角形的相似比.在这两个三角形的一组对应中线中,如果较短的中线是3 cm,那么较长的中线多长? 解:根据相似三角形对应角平分线、对应中线的比等于相似比可知:相似比为;较长中线的长等于. 【设计意图】要求学生能用相似三角形对应高的比等于相似比的性质来解决生活中的实际问题.增强学生的应用意识. (三)课堂小结 经历了这节课的探索学习,你在知识上和方法上有什么收获呢?请说说看. 相似三角形的性质:相似三角形对应高的比,对应角平分线的比,对应中线的比都等于相似比. 【设计意图】培养学生的归纳总结能力,加深对知识的理解和应用能力. (四)作业布置 习题4.11 第1,2,3,4题. 【设计意图】巩固本节课所学内容. 五、教学反思 相似图形是现实生活中广泛存在的现象.探索相似图形的一些重要性质的过程,不但可以使学生更好地认识、描述物体的形状,体会图形相似在刻画现实世界中的重要作用,而且也可以通过解决现实世界中的具体问题,提高学生应用数学的意识和合作交流的能力.因此教学中注意让学生充分经历从具体到抽象,再由抽象上升到具体的学习过程,综合运用以前所学过的研究图形性质的各种方法,逐步加强逻辑推理能力. 6 学科网(北京)股份有限公司 $$