相似三角形的判定同步练习2024-2025学年北师大版数学九年级上册

相似三角形 一．解答题（共31小题） 1．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，AD与BE交于点F，求证：△AEF∽△BEC． 2．如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，且∠BCE+∠BDE＝180°． （1）求证：△ADE∽△ACB； （2）连接BE、CD，求证：△AEB∽△ADC． 3．如图，在△ABC中，AB＝AC，点P为BC边上一动点（不与点B，C重合），连接AP，过点P作射线PM交AC于点M，使∠APM＝∠B．求证：△ABP∽△PCM． 4．如图，在△ABC中，D为AC边上一点，AD＝5，BC＝6，CD＝4， 求证：△CDB∽△CBA． 5．如图，在等边△ABC中，D为BC边上一点，若∠ADE＝60°，求证：△DCE∽△ABD． 6．如图，点E，F分别在正方形ABCD的边BC，CD上，BE＝3，EC＝6，CF＝2．求证：△ABE∽△ECF． 7．如图，点E，F分别在正方形ABCD的边AD，CD上，连接BE和EF，AB＝9，AE＝3，DF＝2．求证：△ABE∽△DEF． 8．如图，E是△ABC的边BC上的点，已知∠BAE＝∠CAD，，AB＝18，AE＝15．求证：△ABC∽△AED． 9．如图，AB∥CD，AC与BD交于点E，连接BC．已知AE＝2，AC＝8，CD＝12． （1）求AB的长； （2）求证：△ABE∽△ACB． 10．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、B、C、E在同一条直线上，且∠D＝∠CAE． （1）求证：△ABD∽△ECA； （2）若AC＝6，CE＝4，求BD的长度． 11．已知：如图，在△ABC中，D、E分别在边AB、AC上，连接DE，AD＝12，EC＝2，BD＝12，AE＝16，求证：△ADE∽△ACB． 12．如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC上的点，连接DE，且∠A＝60°，∠ADE＝50°，∠B＝70°．求证：△ADE∽△ACB． 13．如图，∠B＝∠D，∠1＝∠2．求证：△ABC∽△ADE． 14．如图，已知点E是矩形ABCD的边CD上一点，BF⊥AE于点F，求证：△ABF∽△EAD． 15．如图，将△ABC绕点B逆时针旋转得到△MBN，连接MA，CN．求证：△ABM∽△CBN． 16．如图，点B为线段AC上一点，满足∠A＝∠EBD＝∠C＝90°，AE＝1，AB＝BC＝2． （1）求CD长度； （2）求证：△ABE∽△BDE． 17．如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC上的点，∠B+∠DEC＝180°．求证：△ADE∽△ACB． 18．已知：如图，点D在三角形ABC的边AB上，DE交AC于点E，∠ADE＝∠B，点F在AD上，且AD2＝AF•AB． 求证：（1）； （2）△AEF∽△ACD． 19．如图，△ABC与△ADE中，∠C＝∠E，∠1＝∠2，求证：△ABC∽△ADE． 20．如图，在正方形ABCD中，P是BC上的点，且BP＝3PC，Q为CD的中点． 求证：△PCQ∽△QDA． 21．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，交AC于点D，点E是AB上一点，连接DE，BD2＝BC•BE．证明：△BCD∽△BDE． 22．如图，在△ABC中，点D、E分别在边AC、AB上，AB＝2AD，AC＝2AE．求证：△ADE∽△ABC． 23．如图，线段AB与CD相交于点P，AP＝5，CP＝3，BP＝10，DP＝6． 求证：△APC∽△BPD． 24．如图，四边形ABCD是正方形，点G为边CD上一点，连接AG并延长，交BC的延长线于点F，连接BD交AF于点E，连接EC． 求证： （1）∠DAE＝∠DCE； （2）△EGC∽△ECF． 25．如图，在△ABC中，点D、E分别在边AC、AB上，且AD•AC＝AE•AB． 求证：△ADE∽△ABC． 26．如图，在平行四边形ABCD中，点N在BC上，连接DN，点M在DN上，连接AM，且∠AMN＝∠B．求证：△ADM∽△DNC． 27．如图，在边长为4的正方形ABCD中，P是BC上的点，且BP＝3PC，Q是CD的中点，求证：△ADQ∽△QCP． 28．如图，已知点 B、C在线段AD上，且AB＝9，CD＝4，△PBC是边长为6的等边三角形．求证：△ABP∽△PCD． 29．已知，如图，△ABC中，AB＝4，BC＝8，D为BC边上一点，BD＝2．求证：△ABD∽△CBA． 30．如图，已知AD•AC＝AB•AE，∠DAE＝∠BAC．求证：△DAB∽△EAC． 31．如图，△ABC是等边三角形，点D、E分别在CB、AC的延长线上，∠ADE＝60°． （1）求证：AD2＝AE•AC； （2）求证：△ABD∽△DCE． 相似三角形 参考答案与试题解析 一．解答题（共31小题） 1．【分析】根据题意可得∠ADB＝∠AEF＝90°，对顶角∠BFD＝∠AFE，再利用三角形内角和定理得∠FBD＝∠FAC，因此得证△AEF∽△BEC． 【解答】证明：在△ABC中，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，AD与BE交于点F， ∴∠ADB＝∠AEF＝90°， 又∵∠BFD＝∠AFE， ∴∠FBD＝∠FAC， ∴△AEF∽△BEC． 【点评】本题考查了相似三角形的判定，对顶角、邻补角，三角形内角和定理，解答本题的关键是熟练掌握相似三角形的判定定理． 2．【分析】（1）根据∠BCE+∠BDE＝180°，∠ADE+∠BDE＝180°，可得∠BCE＝∠ADE，进一步可证△ADE∽△ACB； （2）根据△ADE∽△ACB，可知AD：AE＝AC：AB，根据∠EAB＝∠DAC即可得证． 【解答】证明：（1）∵∠BCE+∠BDE＝180°， 又∵∠ADE+∠BDE＝180°， ∴∠BCE＝∠ADE， ∵∠DAE＝∠CAB， ∴△ADE∽△ACB； （2）∵△ADE∽△ACB， ∴AD：AE＝AC：AB， 又∵∠EAB＝∠DAC， ∴△AEB∽△ADC． 【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键． 3．【分析】由AB＝AC得到∠B＝∠C，三角形的外角得到∠BAP＝∠CPM，即可得证． 【解答】证明：∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C． 在△ABP中，∠APC＝∠B+∠BAP， 又∠APM＝∠B，∠APC＝∠APM+∠CPM， ∴∠BAP＝∠CPM． ∴△ABP∽△PCM． 【点评】本题考查相似三角形的判定，等边对等角，得到∠B＝∠C，三角形的外角得到∠BAP＝∠CPM，即可得证． 4．【分析】求出两组对应边的比例，利用两边对应成比例且其夹角相等的判定方法证明相似． 【解答】证明：在△ABC中，D为AC边上一点，AD＝5，BC＝6，CD＝4， ∴，， ∴． ∵∠BCD＝∠ACB， ∴△CDB∽△CBA． 【点评】本题考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题关键． 5．【分析】根据等边三角形的性质得出∠B＝∠C＝60°，再根据∠ADE＝60°，结合平角的定义以及三角形内角和定理得出∠BAD＝∠EDC，即可得出结论． 【解答】证明：∵△ABC是等边三角形， ∴∠B＝∠C＝60°， ∵∠ADE＝60°， ∴∠ADB+∠EDC＝180°﹣60°＝120， ∵∠B＝60°， ∴∠ADB+∠BAD＝120°， ∴∠BAD＝∠EDC， ∴△DCE∽△ABD． 【点评】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 6．【分析】根据正方形的性质，得出∠B＝∠C＝90°，AB＝CB＝9，进而得出，根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似即可证明． 【解答】证明：∵BE＝3，EC＝6， ∴BC＝9， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝CB＝9，∠B＝∠C＝90°， ∵，， ∴， 又∵∠B＝∠C＝90°， ∴△ABE∽△ECF． 【点评】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定定理是解题关键． 7．【分析】根据已知条件求出DE，再证明＝，又由正方形的性质，得∠A＝∠D，根据“两边对应成比例，夹角相等的两个三角形相似”即可证明出结论． 【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，AB＝9， ∴AD＝AB＝9，∠A＝∠D， ∵AE＝3， ∴DE＝AD﹣AE＝9﹣3＝6， ∴＝＝， ∵DF＝2， ∴＝， ∴＝， ∴△ABE∽△DEF． 【点评】本题考查正方形的性质，相似三角形的判定，掌握相关性质和判定是解题的关键． 8．【分析】求出＝＝，根据∠BAE＝∠CAD求出∠BAC＝∠EAD，再根据相似三角形的判定定理证明即可． 【解答】证明：∵，AB＝18，AE＝15， ∴＝＝， ∵∠BAE＝∠CAD， ∴∠BAE+∠EAC＝∠CAD+∠EAC， 即∠BAC＝∠EAD， ∴△ABC∽△AED． 【点评】本题考查了相似三角形的判定定理，能熟记相似三角形的判定定理是解此题的关键，①有两角对应相等的两三角形相似，②有三边对应成比例的两三角形相似，③有两边对应成比例，且夹角相等的两三角形相似． 9．【分析】（1）由线段的和差关系可求出CE的长，由AB∥CD可证明△CDE∽△ABE，根据相似三角形的性质即可求出AB的长； （2）根据AB、AE、AC的长可得，由∠A为公共角，根据两组对应边成比例，且对应的夹角相等即可证明△ABE∽△ACB． 【解答】（1）解：∵AE＝2，AC＝8， ∴CE＝AC﹣AE＝8﹣2＝6， ∵AB∥CD， ∴∠A＝∠DCE，∠ABE＝∠D， ∴△ABE∽△CDE， ∴＝， 即＝， ∴AB＝4； （2）证明：∵AB＝4，AE＝2，AC＝8， ∴＝＝，＝＝， ∴＝， ∵∠A＝∠A， ∴△ABE∽△ACB． 【点评】本题主要考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题关键． 10．【分析】（1）由AB＝AC可得到∠ABC＝∠ACB，则∠ABD＝∠ACE，即可证得结论； （2）根据相似三角形的性质即可求解． 【解答】（1）证明：∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB， ∴∠ABD＝∠ACE， ∵∠D＝∠CAE． ∴△ABD∽△ECA； （2）解：∵AB＝AC，AC＝6， ∴AB＝AC＝6， ∵△ABD∽△ECA， ∴， ∴， ∴BD＝9． 【点评】本题主要考查相似三角形的判定方法，掌握相似三角形的判定方法是解题关键，注意利用等腰三角形的性质来找角相等． 11．【分析】首先根据已知得出AD：AC＝AE：AB，又因为∠DAE＝∠CAB，进而得出△ADE∽△ACB． 【解答】证明：∵AD＝12，BD＝12， ∴AB＝AD+BD＝12+12＝24， ∵AE＝16，CE＝2， ∴AC＝AE+CE＝16+2＝18， ∴， 又∵∠DAE＝∠CAB， ∴△ADE∽△ACB． 【点评】此题主要考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题关键． 12．【分析】根据三角形内角和定理可得∠B＝∠AED，即可证明△ADE∽△ACB． 【解答】证明：∵∠A＝60°，∠ADE＝50°， ∴∠AED＝180°﹣∠A﹣∠ADE＝70°， ∵∠B＝70°， ∴∠B＝∠AED， ∵∠A＝∠A， ∴△ADE∽△ACB． 【点评】本题主要考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 13．【分析】已经有一对角相等，只需再证一对角相等即可．因为∠1＝∠2，所以∠1+∠DAC＝∠2+∠DAC，即∠BAC＝∠DAE．问题得证． 【解答】证明：∵∠1＝∠2， ∴∠1+∠CAD＝∠2+∠CAD， ∴∠BAC＝∠DAE， 又∵∠B＝∠D， ∴△ABC∽△ADE． 【点评】本题考查了相似三角形的判定．两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似，熟记相似三角形的各种判定方法是解题关键． 14．【分析】先利用等角的余角相等得到∠DAE＝∠BAF，从而根据有两组角对应相等的两个三角形相似得到结论． 【解答】证明：∵四边形ABCD为矩形， ∴∠BAD＝∠D＝90°， ∴∠DAE+∠BAE＝90°， ∵BF⊥AE于点F， ∴∠ABF+∠BAE＝90°， ∴∠DAE＝∠BAF， ∴△ABF∽△EAD． 【点评】本题考查了相似三角形的判定：有两组角对应相等的两个三角形相似．也考查了矩形的性质． 15．【分析】由旋转性质可得：AB＝MB，BC＝BN，∠ABC＝∠MBN，进而可得，∠ABM＝∠CBN，由此根据相似三角形的判定定理即可证明△ABM∽△CBN． 【解答】证明：∵将△ABC绕点B逆时针旋转得到△MBN， ∴由旋转性质，得AB＝MB，BC＝BN，∠ABC＝∠MBN， ∴， ∵∠ABC＝∠MBN， ∴∠ABC+∠ABN＝∠MBN+∠ABN， 即∠ABM＝∠CBN， ∴△ABM∽△CBN． 【点评】本题考查了相似三角形的判定，旋转的性质，熟练掌握相似三角形的判定定理，旋转的性质是解题的关键． 16．【分析】（1）由∠ABE+∠AEB＝90°＝∠ABE+∠CBD，可得∠AEB＝∠CBD，证明△ABE∽△CDB，则，即，计算求解即可； （2）由勾股定理得，，，由，∠A＝∠EBD＝90°，可证结论． 【解答】（1）解：∵∠A＝∠EBD＝∠C＝90°， ∴∠ABE+∠AEB＝90°＝∠ABE+∠CBD，即∠AEB＝∠CBD， ∴△ABE∽△CDB， ∴，即， 解得，CD＝4， ∴CD的长度为4； （2）证明：由勾股定理得：，， ∴， ∵，∠A＝∠EBD＝90°， ∴△ABE∽△BDE． 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识．熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 17．【分析】根据两角对应相等两三角形相似证明即可． 【解答】证明：∵∠DEC+∠AED＝180°，∠B+∠DEC＝180°， ∴∠AED＝∠B， 又∵∠A＝∠A， ∴△ADE∽△ACB． 【点评】本题考查相似三角形的判定，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法． 18．【分析】（1）利用已知可得DE∥BC，然后利用平行线分线段成比例证明即可； （2）利用两边成比例且夹角相等来证明△AEF∽△ACD即可． 【解答】证明：（1）∵∠ADE＝∠B， ∴DE∥BC， ∴； （2）∵AD2＝AF⋅AB， ∴， 由（1）得：， ∴． ∵∠A＝∠A， ∴△AEF∽△ACD． 【点评】本题考查了平行线分线段成比例，相似三角形的判定，熟练掌握A字模型相似三角形是解题的关键． 19．【分析】已经有一对角相等，只需再证一对角相等即可．因为∠1＝∠2，所以∠1+∠DAC＝∠2+∠DAC，即∠BAC＝∠DAE．问题得证． 【解答】证明：∵∠1＝∠2， ∴∠1+∠DAC＝∠2+∠DAC， ∴∠BAC＝∠DAE． （2分） ∵∠C＝∠E，（3分） ∴△ABC∽△ADE． （5分） 【点评】此题考查了相似三角形的判定，内容单一，简单． 20．【分析】根据BP＝3PC，Q为CD的中点，可以得出，即可证明△ADQ∽△QCP． 【解答】证明：∵BP＝3PC，Q为CD的中点， ∴， 又∵∠ADQ＝∠QCP＝90°， ∴△ADQ∽△QCP． 【点评】本题考查了相似三角形的判定定理，熟练掌握相似三角形的判定定理是解答本题的关键． 21．【分析】由角平分线的定义可得出∠DBE＝∠CBD，结合BD2＝BC•BE（即），即可证出△BCD∽△BDE． 【解答】证明：∵BD平分∠ABC， ∴∠DBE＝∠CBD． ∵BD2＝BC•BE， ∴， ∴△BCD∽△BDE． 【点评】本题考查了相似三角形的判定，牢记“两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似”是解题的关键． 22．【分析】由AB＝2AD，AC＝2AE得到，再由∠DAE＝∠BAC即可得到△ADE∽△ABC． 【解答】证明：∵AB＝2AD，AC＝2AE， ∴， ∵∠DAE＝∠BAC， ∴△ADE∽△ABC． 【点评】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定是解此题的关键． 23．【分析】由两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，可得结论． 【解答】证明：∵AP＝5，CP＝3，BP＝10，DP＝6， ∴＝，＝， ∴， 又∵∠APC＝∠BPD， ∴△APC∽△BPD． 【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 24．【分析】（1）根据正方形的性质得出AD＝DC，∠ADE＝∠CDE＝45°，AD∥BC，证明△ADE≌△CDE（SAS），由全等三角形的性质得出∠DAE＝∠DCE； （2）由平行线的性质可得出∠DAE＝∠F，证得∠DCE＝∠F，则可得出结论． 【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝DC，∠ADE＝∠CDE＝45°，AD∥BC， 在△ADE和△CDE中， ， ∴△ADE≌△CDE（SAS）， ∴∠DAE＝∠DCE， （2）∵AD∥CF， ∴∠DAE＝∠F， ∴∠DCE＝∠F， 又∵∠CEG＝∠FEC， ∴△EGC∽△ECF． 【点评】本题考查了正方形的性质，平行线的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定，熟练掌握正方形的性质是解题的关键． 25．【分析】由两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，可得结论． 【解答】证明：∵AD•AC＝AE•AB， ∴， 又∵∠A＝∠A， ∴△ADE∽△ABC． 【点评】本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定是解题的关键． 26．【分析】由平行四边形的性质可得∠B+∠C＝180°，∠ADM＝∠DNC，由补角的性质可得∠AMD＝∠C，可得结论． 【解答】证明：如图，∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AD∥BC， ∴∠B+∠C＝180°，∠ADM＝∠DNC， ∵∠AMN+∠AMD＝180°，∠AMN＝∠B， ∴∠B+∠AMD＝180°， ∴∠AMD＝∠C， ∴△ADM∽△DNC． 【点评】本题考查了相似三角形的判定，平行四边形的性质，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 27．【分析】利用两边及其夹角法即可作出证明． 【解答】证明：∵四边形ABCD是正方形，BP＝3PC，Q是CD的中点， ∴QC＝QD＝AD，CP＝AD， ∴， 又∵∠ADQ＝∠QCP＝90°， ∴△ADQ∽△QCP． 【点评】本题考查了相似三角形的判定，属于基础题，熟练掌握三角形相似的三个判定定理是解答本题的关键． 28．【分析】由等边三角形的性质可得PB＝PC＝BC＝6，∠PBC＝∠PCB＝60°，可得∠ABP＝∠DCP＝120°，，可得结论． 【解答】证明：∵△PBC是等边三角形， ∴PB＝PC＝BC＝6，∠PBC＝∠PCB＝60°， ∴∠ABP＝∠DCP＝120°， ∵＝＝，＝＝， ∴， ∴△ABP∽△PCD． 【点评】本题考查了相似三角形的判定，等边三角形的性质，掌握相似三角形的判定是解题的关键． 29．【分析】利用相似三角形的判定解答即可 【解答】证明：∵AB＝4，BC＝8，BD＝2， ∴． ∵∠ABD＝∠CBA， ∴△ABD∽△CBA． 【点评】本题主要考查了相似三角形的判定；熟记两边成比例且夹角相等的两个三角形相似是解决问题的关键． 30．【分析】根据相似三角形的判定定理即可证明△DAB∽△EAC． 【解答】证明：∵AD•AC＝AB•AE， ∴＝， ∵∠DAE＝∠BAC． ∴∠DAE﹣∠BAE＝∠BAC﹣∠BAE， ∴∠DAB＝∠EAC， ∴△DAB∽△EAC． 【点评】本题考查了相似三角形的判定，解决本题的关键是掌握相似三角形的判定定理． 31．【分析】（1）由等边三角形的性质可得∠ACB＝60°，从而得∠ADE＝∠ACB，可判定△ACD∽△ADE，即可求得AD2＝AE•AC； （2）由（1）可得△ACD∽△ADE，则有∠ADC＝∠AED，再由等边三角形的性质得∠ABC＝∠ACB＝60°，可求得∠ABD＝∠DCE＝120°，即可判定△ABD∽△DCE． 【解答】证明：（1）∵△ABC是等边三角形， ∴∠ACB＝60°， ∵∠ADE＝60°， ∴∠ADE＝∠ACB， ∵∠CAD＝∠DAC， ∴△ACD∽△ADE， ∴， ∴AD2＝AE•AC； （2）由（1）得：△ACD∽△ADE， ∴∠ADC＝∠AED， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC＝∠ACB＝60°， ∴∠ABD＝∠DCE＝120°， ∴△ABD∽△DCE． 【点评】本题主要考查相似三角形的判定，等边三角形的性质，解答的关键是熟记相似三角形的判定条件并灵活运用． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/11/16 8:57:55；用户：风舞；邮箱：fe.1218@163.com；学号：5128163 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$