第一章 专题特训一特殊平行四边形的最值问题-2023-2024学年九年级上册数学【拔尖特训】北师大版

专题特训一　特殊平行四边形的最值问题 ▶ “答案与解析”见P10 类型一 利用轴对称求最值 模型示例:如图①,定点A,B 分布在定直线l的同 侧,在直线l上找一点P,使得PA+PB 的值最小. 作法:如图②,作点B 关于直线l的对称点B',连接 AB',据“两点之间,线段最短”知AB'与直线l的交 点即为所求点P. 1. (2022·赤峰)如图,菱形ABCD 的点A,B, C,D 均在坐标轴上,∠ABC=120°,点A 的 坐标为(-3,0),E 是CD 的中点,P 是OC 上的一动点,则PD+PE 的最小值为( ) (第1题) A. 3 B. 5 C. 22 D. 3 23 2. (2022·自贡)如图,在矩形ABCD 中,AB= 4,BC=2,G 是AD 的中点,线段EF 在边 AB 上左右滑动.若EF=1,则GE+CF 的最 小值为 . (第2题) 3. (2021·呼和浩特)已知菱形ABCD 的面积为23,E 是边BC 的中点 P 是对角线BD 上的动点,连接 AE.若AE 平分∠BAC,则PE+PC 的最小 值为 ,最大值为 . 类型二 利用三角形的三边关系求最值 模型示例:如图①,定点A,B 分布在定直线l的同 侧,在直线l上找一点P,使得|PA-PB|的值最大. 作法:如图②,连接AB 并延长,交直线l于点P,据 “三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三 边”知点P 即为所求. 4. (2021·南充改编)如图,在矩形ABCD 中, AB=15,BC=20,把边AB 沿对角线BD 平 移,点A',B'分别对应点A,B,连接A'D, B'C,A'C.给出下列结论:① 四边形A'B'CD 是平行四边形;② 点C 到它关于直线AA'的 对称点的距离为48;③ A'C-B'C 的最大值 为15;④ 作点D 关于AA'的对称点D',则 CB'+CA'的最小值为CD'的长.其中,正确 的个数是 ( ) (第4题) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. (2021·盘锦)如图,四边形ABCD 为矩形,AB=23,AD=22,P 为 边AB 上一点,以 DP 为折痕将 △DAP 翻折,点A 的对应点为A',连接AA', 交PD 于点 M,Q 为线段BC 上一点,连接 AQ,MQ,则AQ+MQ的最小值为 . (第5题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 51 第一章　特殊平行四边形 {#{QQABLQYAogigAABAAQhCQwHQCkKQkBACAAoGgAAMMAAAwRNABAA=}#} ②正确.只要 MN⊥EF,OM=ON, 则四边形MENF 是菱形.∵ E,F 是 BD 上的动点,∴ 存在无数个菱形 MENF.故③正确.只要 MN=EF, MN ⊥EF,OM =ON,则 四 边 形 MENF 是正方形,而符合要求的正方 形只有一个.故④错误.综上所述,正 确的个数是3.故选C. (第6题) 7. 90° [解析]过点E 作EH⊥BD 于点H,过点F 作FG⊥BD 于点G. ∵ CE,CF 分别为∠ACB,∠ACD 的 平 分 线,∴ ∠ECH = ∠ECO, ∠FCO=∠FCG.∴ 易得∠ECF= 90°.∵ MN ∥BC,∴ ∠FEC = ∠ECH.∴ ∠FEC=∠ECO.∴ OE= OC.同理,可得OC=OF.∴ OE= OF.∵ 点O 运动到AC 的中点处, ∴ OA=OC.∴ 四边形AECF 为矩 形.若∠ACB=90°,则 AC⊥BD. ∵ MN∥BC,∴ AC⊥MN,即AC⊥ EF.∴ 四边形AECF 为正方形. 8. (1) ∵ AD=CD,E 是边AC 的 中点, ∴ DE⊥AC. ∴ DF 垂直平分线段AC. ∴ AF=CF. ∴ ∠FAC=∠ACB. ∵ ∠BAC=90°, ∴ ∠B+ ∠ACB=90°,∠FAC+ ∠BAF=90°. ∴ ∠B=∠BAF. ∴ AF=BF. (2) ∵ AG∥BC, ∴ ∠AGE=∠CFE. 又∵ E 是边AC的中点, ∴ AE=CE. 又∵