第一章 专题特训二特殊平行四边形的运动问题-2023-2024学年九年级上册数学【拔尖特训】北师大版

专题特训二　特殊平行四边形的运动问题 ▶ “答案与解析”见P11 类型一 动点问题 1. 如图,在矩形ABCD 中,AD=32cm,AB= 24cm,P 是线段AD 上一动点,O 为BD 的 中点,PO 的延长线交BC 于点Q.若点P 从 点A 出发,以1cm/s的速度向点D 运动(不 与点D 重合).设点P 运动的时间为ts.当 t= 时,以P,Q 两点与A,B,C,D 四点中的两个点为顶点的四边形是菱形. (第1题) 2. (2022·兰州)综合与实践: 【问题情境】 数学活动课上,老师提出了一个问 题:如图①,在正方形ABCD 中,E 是BC 的 中点,AE⊥EP,EP 与正方形的外角∠DCG 的平分线交于点P.试猜想AE 与EP 的数 量关系,并加以证明. 【思考尝试】 (1) 同学们发现,取AB 的中点F,连接EF 可以解决这个问题.请在图①中补全图形,解 答老师提出的问题. 【实践探究】 (2) 希望小组受此问题启发,逆向思考这个 问题,并提出新的问题:如图②,在正方形 ABCD 中,E 为边BC 上一动点(不与点B, C 重 合),△AEP 是 等 腰 直 角 三 角 形, ∠AEP=90°,连接CP,求∠DCP 的度数. 【拓展迁移】 (3) 突击小组深入研究希望小组提出的这个 问题,发现并提出新的探究点:如图③,在正 方形ABCD 中,E 为边BC 上一动点(不与 点B,C 重合),△AEP 是等腰直角三角形, ∠AEP=90°,连接 DP.当 AB=4时,求 △ADP 周长的最小值. (第2题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 61 数学(北师版)九年级上 {#{QQABJQYEggCAABAAAAgCQwWgCkKQkBCCCIoGwBAAIAAAARNABAA=}#} 类型二 旋转问题 3. (2022·滨州)如图,正方形ABCD 的对角线 相交于点O.若∠BOC 绕点O 按顺时针方向 旋转,其两边分别与边AB,BC 相交于点E, F,连接EF,则在点E 由点B 运动到点A 的 过程中,线段EF 的中点G 的运动轨迹是 ( ) (第3题) A. 线段 B. 圆弧 C. 折线 D. 波浪线 4. (2021·齐齐哈尔改编)数学实践活 动可以激发我们的学习兴趣,提高 动手动脑能力,拓展思维空间,丰富 数学体验.让我们一起动手来折一折、转一 转、剪一剪,体会活动带给我们的乐趣. 折一折:如图①,将正方形纸片ABCD 折叠, 使边AB,AD 都落在对角线AC 上,展开得 折痕AE,AF,连接EF. (第4题) (1) ∠EAF= ,写出图①中的两个 等腰三角形: (不需要添加字母). 转一转:如图②,将图①中的∠EAF 绕点A 旋转,使它的两边分别交边BC,CD 于点P, Q,连接PQ. (2) 判断线段BP,PQ,DQ 之间的数量关 系,并说明理由. 剪一剪:如图③,连接正方形对角线BD,图 ②中的∠PAQ 的边AP,AQ 分别交对角线 BD 于点M,N.将图③中的正方形纸片沿对 角线BD 剪开得到图④. (3) 求证:BM2+DN2=MN2. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 71 第一章　特殊平行四边形 {#{QQABJQYEggCAABAAAAgCQwWgCkKQkBCCCIoGwBAAIAAAARNABAA=}#} GE+CF 的最小值为32. (第2题) 3. 3 2+7 [解析]根据题意,画 出如图所示的图形,连接PA,DE.在 菱形ABCD 中,由E 是边BC 的中点 及AE 平分∠BAC,易知△ABC 是等 边三角形,AE⊥BC.∴ ∠ABC= 60°.设AB=BC=x,则易知AE= 3x 2 .∵ 菱形ABCD 的面