第十章 第4节 相互独立事件的概率、条件概率与全概率公式-【导与练】2024高考数学一轮复习高中总复习第1轮教师用书word（浙江专用）

第4节　相互独立事件的概率、条件概率与全概率公式 [课程标准要求] 1.了解两个事件独立性的含义,能利用事件的独立性解决一些实际问题. 2.了解条件概率的含义以及条件概率与独立性的关系. 3.能利用条件概率和全概率公式解决一些实际问题. 1.事件的相互独立性 (1)相互独立的定义:对任意两个事件A与B,如果P(AB)=P(A)P(B)成立,则称事件A与事件B相互独立,简称为独立. (2)相互独立的性质:①如果事件A与事件B相互独立,则A与,与B,与都相互独立. ②若事件A与事件B相互独立,则P(AB)=P(A)P(B). 相互独立事件与互斥事件的区别:相互独立事件是指两个事件发生的概率互不影响,计算式为P(AB)=P(A)P(B),互斥事件是指在同一试验中,两个事件不会同时发生,计算公式为P(A∪B)=P(A)+P(B). 2.条件概率 (1)条件概率的概念 一般地,设A,B为两个随机事件,且P(A)>0,我们称P(B|A)=为在事件A发生的条件下,事件B发生的条件概率,简称条件概率. (2)条件概率的公式 ①P(B|A)=; ②P(B|A)=,P(AB)表示事件A与B积事件的概率. (3)条件概率的性质 设P(A)>0,则 ①0≤P(B|A)≤1,P(Ω|A)=1; ②如果B和C是两个互斥事件,则P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A); ③设和B互为对立事件,则P(|A)=1-P(B|A); ④概率的乘法公式:对任意两个事件A与B,若P(A)>0,则P(AB)=P(A)P(B|A). 3.全概率公式 一般地,设A1,A2,…,An是一组两两互斥的事件,A1∪A2∪…∪An=Ω,且P(Ai)>0,i=1,2,…,n,则对任意的事件B⊆Ω,有P(B)=P(Ai)·P(B|Ai).我们称其为全概率公式. 全概率公式是按照某种标准,将一个复杂事件表示为几个互斥事件的并事件,再由概率的加法公式和乘法公式求得这个复杂事件的概率. 1.如果A1,A2,…,An相互独立,那么P(A1A2…An)=P(A1)P(A2)…P(An). 2.当A,B相互独立时,P(B|A)=P(B). 1.抛掷3枚质地均匀的硬币,A={既有正面向上又有反面向上},B={至多有一个反面向上},则A与B的关系是(　C　) A.互斥事件 B.对立事件 C.相互独立事件 D.不相互独立事件 解析:由已知有P(A)=1-=,P(B)=1-=,P(AB)=,满足P(AB)=P(A)P(B),则事件A与事件B相互独立. 2.甲、乙两个气象站同时作气象预报,如果甲站、乙站预报的准确率分别为0.8和0.7,那么在一次预报中两站恰有一站准确预报的概率为(　D　) A.0.8 B.0.7 C.0.56 D.0.38 解析:由于甲站、乙站预报的准确率分别为0.8和0.7,则在一次预报中两站恰有一站准确预报的概率为P=0.8×(1-0.7)+(1-0.8)×0.7=0.38. 3.(选择性必修第三册P50例5改编)甲、乙两所学校举行了某次联考,甲校成绩的优秀率为30%,乙校成绩的优秀率为35%,现将两所学校的成绩放到一起,已知甲校参加考试的人数占总数的40%,乙校参加考试的人数占总数的60%,现从中任取一个学生成绩,则取到优秀成绩的概率为(　D　) A.0.165 B.0.16 C.0.32 D.0.33 解析:将两所学校的成绩放到一起,从中任取一个学生成绩,取到优秀成绩的概率为30%×40%+35%×60%=0.33. 4.(2022·辽宁沈阳一模)夏季里,每天甲、乙两地下雨的概率分别为和,且两地同时下雨的概率为,则夏季的一天里,在乙地下雨的条件下,甲地也下雨的概率为(　C　) A. B. C. D. 解析:记事件A为甲地下雨,事件B为乙地下雨,所以P(A)=,P(B)=,P(AB)=, 所以在乙地下雨的条件下,甲地也下雨的概率为 P(A|B)===. 5.有一批种子的发芽率为0.9,出芽后的幼苗成活率为0.8,在这批种子中,随机抽取一粒,则这粒种子能成长为幼苗的概率为　　　　.  解析:设种子发芽为事件A,种子成长为幼苗为事件B(发芽又成活为幼苗). 依题意P(B|A)=0.8,P(A)=0.9.根据条件概率公式P(AB)=P(A)P(B|A)=0.9×0.8=0.72,即这粒种子能成长为幼苗的概率为0.72. 答案:0.72 事件的相互独立性 事件相互独立性的判断 [例1] 袋子里装有形状大小完全相同的4个小球,球上分别标有数字1,2,3,4,从中有放回地随机取两次,每次取1个球.A表示事件“第一次取出的球上数字是1”,B表示事件“第二次取出的球上数字是2”,C表示事件“两次取出的球上数字之和是5”,D表示事件“两次取出的球上数字之和是6”,通过计算,可以得出(　　)