第三章 第3节 导数与函数的极值、最值-【导与练】2024高考数学一轮复习高中总复习第1轮教师用书word（浙江专用）

第3节　导数与函数的极值、最值 [课程标准要求] 1.借助函数图象,了解函数在某点取得极值的必要和充分条件. 2.会用导数求函数的极大值、极小值. 3.会求闭区间上函数的最大值、最小值. 1.函数的极值 (1)函数的极小值 函数y=f(x)在点x=a的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点的函数值都小,f′(a)=0;而且在点x=a附近的左侧f′(x)<0,右侧f′(x)>0,则a叫做函数y=f(x)的极小值点,f(a)叫做函数y=f(x)的极小值. (2)函数的极大值 函数y=f(x)在点x=b的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点的函数值都大,f′(b)=0;而且在点x=b附近的左侧f′(x)>0,右侧f′(x)<0,则b叫做函数y=f(x)的极大值点,f(b)叫做函数y=f(x)的极大值. (3)极小值点、极大值点统称为极值点,极小值和极大值统称为极值. 对于可导函数f(x),“f′(x0)=0”是“函数f(x)在x=x0处有极值”的必要不充分条件. 2.函数的最大(小)值 (1)函数f(x)在区间[a,b]上有最值的条件: 如果在区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线,那么它必有最大值和最小值. (2)求y=f(x)在区间[a,b]上的最大(小)值的步骤: ①求函数y=f(x)在区间(a,b)上的极值; ②将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a),f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值. 1.(多选题)(选择性必修第二册P92T1改编)已知函数y=f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示,则下列判断正确的是(　AC　) A.f(x)在x=-4时取极小值 B.f(x)在x=-2时取极大值 C.1.5是f(x)的极小值点 D.3是f(x)的极小值点 解析:由导函数f′(x)的图象可得,当x=-4时,其左边的导数小于零,右边的导数大于零,所以f(x)在x=-4时取极小值,所以A正确;当x=1.5时,其左边的导数小于零,右边的导数大于零,所以1.5是f(x)的极小值点,所以C正确;而x=-2和x=3,左右两边的导数值同号,所以-2和3不是函数的极值点,所以B,D错误. 2.函数f(x)=x3-ax2+2x-1有极值,则实数a的取值范围是(　B　) A.(-∞,-]∪[,+∞) B.(-∞,-)∪(,+∞) C.(-,) D.[-,] 解析:f′(x)=3x2-2ax+2, 由题意知f′(x)有变号零点, 所以Δ=(-2a)2-4×3×2>0, 解得a>或a<-. 3.(多选题)(2022·山东青岛月考)已知f(x)=,则f(x)(　BC　) A.在(-∞,+∞)上单调递减 B.在(-∞,1)上单调递增 C.有极大值,无极小值 D.有极小值,无极大值 解析:由题意知f′(x)=,当x<1时,f′(x)>0,f(x)单调递增,当x>1时,f′(x)<0,f(x)单调递减,所以f(1)是函数的极大值,也是最大值,f(1)=,函数无极小值. 4.(2023·湖南长沙模拟)函数f(x)=ln(x+1)-的最大值为　　　　.  解析:因为f(x)=ln(x+1)-, 所以f′(x)=-=,x≥0, 所以f′(x)=≤0, 所以f(x)单调递减,f(x)的最大值为f(0)=0. 答案:0 5.已知函数f(x)=x3+x2-2x+1,若函数f(x)在(2a-2,2a+3)上存在最小值,则实数a的取值范围是　　　　.  解析:f(x)=x3+x2-2x+1, f′(x)=x2+x-2=(x+2)(x-1), 当-2<x<1时,f′(x)<0,f(x)单调递减; 当x<-2或x>1时,f′(x)>0,f(x)单调递增, 所以f(x)在x=1处取得极小值,在x=-2处取得极大值. 令f(x)=f(1), 解得x=1或x=-, 又因为函数f(x)在(2a-2,2a+3)上存在最小值,且(2a-2,2a+3)为开区间, 所以-≤2a-2<1<2a+3, 解得-≤a<, 即a的取值范围是[-,). 答案:[-,) 利用导数研究函数的极值 根据函数图象判断函数极值 [例1] (多选题)(2022·山东潍坊二模)定义在区间[-,4]上的函数f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示,则下列结论正确的是(　　) A.函数f(x)在区间(0,4)上单调递增 B.函数f(x)在区间(-,0)上单调递减 C.函数f(x)在x=1处取得极大值 D.函数f(x)在x=0处取得极小值 解析:根据导函数图象可知,在区间(-∞,0)上,f′(x)<0,f(x)单调递减,在区间(0,+∞)上,f′(x)>0,f(x)单调递增,所以f(x)在x=0处取得极小值,没有极大值. 所以A,B,D选项正确,C选项错误.故选ABD.