第三章 第1节 导数的概念及其意义、导数的运算-【导与练】2024高考数学一轮复习高中总复习第1轮教师用书word（浙江专用）

第三章　一元函数的导数及其应用 (选择性必修第二册) 第1节　导数的概念及其意义、导数的运算 [课程标准要求] 1.了解导数概念的实际背景,理解导数的几何意义. 2.能根据导数定义求函数y=c(c为常数),y=x,y=x2,y=x3,y=,y= 的导数. 3.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数.能求简单的复合函数(限于形如f(ax+b))的导数,会使用导数公式表. 1.函数y=f(x)在x=x0处的导数 (1)定义:如果当Δx→0时,平均变化率无限趋近于一个确定的值,即有极限,则称y=f(x)在x=x0处可导,并把这个确定的值叫做y=f(x)在x=x0处的导数(也称为瞬时变化率),记作f′(x0)或y′,即 f′(x0)==. (1)定义的变化形式:f′(x0)=. (2)函数y=f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势,其正负号反映了变化的方向,其大小|f′(x)|反映了变化的快慢,|f′(x)|越大,曲线在这点处的切线越“陡”. (2)几何意义:函数y=f(x)在x=x0处的导数f′(x0)就是曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线的斜率k0,即 k0==f′(x0). (1)曲线y=f(x)在点P(x0,y0)处的切线是指P为切点,斜率为f′(x0)的切线,具有唯一性. (2)曲线y=f(x)过点P(x0,y0)的切线,点P不一定是切点,切线可能有多条. 2.函数y=f(x)的导函数 从求函数y=f(x)在x=x0处导数的过程可以看到,当x=x0时,f′(x0)是一个唯一确定的数.这样,当x变化时,y=f′(x)就是x的函数,我们称它为y=f(x)的导函数(简称导数).y=f(x)的导函数有时也记作y′,即 f′(x)=y′=. 3.基本初等函数的导数公式 基本初等函数 导函数 f(x)=c(c为常数) f′(x)=0 f(x)=xα(α∈Q,且α≠0) f′(x)=αxα-1 f(x)=sin x f′(x)=cos x f(x)=cos x f′(x)=-sin x f(x)=ex f′(x)=ex f(x)=ax(a>0,且a≠1) f′(x)=axln a f(x)=ln x f′(x)= f(x)=loga x(a>0,且a≠1) f′(x)= 函数的解析式中含有根式的,在求导时要先将根式化为分数指数幂后求导数. 4.导数的运算法则 若f′(x),g′(x)存在,则有 (1)[f(x)±g(x)]′=f′(x)±g′(x); (2)[f(x)g(x)]′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x); (3)[]′=(g(x)≠0). 5.复合函数的导数 一般地,对于由函数y=f(u)和u=g(x)复合而成的函数y=f(g(x)),它的导数与函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为y′x=y′u·u′x.即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积. 1.奇函数的导数是偶函数,偶函数的导数是奇函数,周期函数的导数还是周期函数. 2.熟记以下结论: (1)()′=-; (2)()′=; (3)[]′=-(f(x)≠0); (4)[af(x)±bg(x)]′=af′(x)±bg′(x). 1.下列结论正确的是(　B　) A.若y=cos ,则y′=-sin B.若y=sin x2,则y′=2xcos x2 C.若y=cos 5x,则y′=-sin 5x D.若y=xsin 2x,则y′=xsin 2x 解析:对于A,y=cos ,则y′=sin ,故错误;对于B,y=sin x2,则y′=2xcos x2,故正确;对于C,y=cos 5x,则y′=-5sin 5x,故错误;对于D,y=xsin 2x,则y′=sin 2x+xcos 2x,故错误. 2.设f(x)为可导函数,且=-1,则曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率为(　D　) A.2 B.-1 C.1 D.- 解析:由导数的几何意义,点(1,f(1))处的切线斜率为f′(1),因为Δx→0时,→-1,所以f′(1)===-,所以在点(1,f(1))处的切线斜率为-. 3.若函数f(x)=ln(2x-1),则f′(2)=　　　　.  解析:f′(x)=,因此f′(2)==. 答案: 4.(2020·全国Ⅲ卷)设函数f(x)=.若f′(1)=,则a=　　　　　　.  解析:由于f′(x)=, 故f′(1)==,解得a=1. 答案:1 5.(2021·全国甲卷)曲线y=在点(-1,-3)处的切线方程为　　　　.  解析:y′=()′==,所以y′|x=-1==5,所以切线方程为y+3=5(x+1),即y=5x+2. 答案:y=5x+2 导数的运算