第六章 第4节 余弦定理和正弦定理-【导与练】2024高考数学一轮复习高中总复习第1轮教师用书word（浙江专用）

第4节　余弦定理和正弦定理 [课程标准要求] 1.借助向量的运算,通过对任意三角形边长和角度关系的探索,掌握正弦定理、余弦定理,并能运用正弦定理、余弦定理解决一些简单的三角形度量问题. 2.能运用余弦定理、正弦定理解决三角形形状的判断问题. 1.正弦定理、余弦定理 在△ABC中,若内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,R为△ABC外接圆半径,则 定理 正弦定理 余弦定理 内容 (1)===2R (2)a2=b2+c2-2bccos A; b2=c2+a2-2cacos B; c2=a2+b2-2abcos C 变形 (3)a=2Rsin A, b=2Rsin B, c=2Rsin C; (4)sin A=, sin B=, sin C=; (5)a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C; (6)asin B=bsin A,bsin C=csin B, asin C=csin A (7)cos A=; cos B=; cos C= 2.三角形常用面积公式 (1)S=a·ha(ha表示边 a上的高). (2)S=absin C=acsin B=bcsin A. (3)S=r(a+b+c)(r为三角形内切圆半径). 1.三角形中的三角函数关系 (1)sin(A+B)=sin C; (2)cos(A+B)=-cos C; (3)sin=cos; (4)cos=sin. 2.三角形中的射影定理 在△ABC中,a=bcos C+ccos B;b=acos C+ccos A;c=bcos A+acos B. 3.在△ABC中,两边之和大于第三边,两边之差小于第三边,A>B⇔a>b⇔sin A>sin B⇔cos A<cos B. 1.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a=1,b=,A=30°,则B等于(　D　) A.30° B.45° C.135° D.45°或135° 解析:根据正弦定理=,得sin B===,由于b=>1=a,所以B=45°或135°. 2.(2021·全国甲卷)在△ABC中,已知B=120°,AC=,AB=2,则BC等于(　D　) A.1 B. C. D.3 解析:法一　由余弦定理AC2=AB2+BC2-2AB·BCcos B, 得BC2+2BC-15=0, 解得BC=3或BC=-5(舍去). 法二　由正弦定理=,得sin C=,从而cos C=(C是锐角),所以sin A=sin[π-(B+C)]=sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C=×-×=.又=,所以BC=3. 3.在△ABC中,已知b=40,c=20,C=60°,则此三角形的解的情况是(　C　) A.有一解 B.有两解 C.无解 D.有解但解的个数不确定 解析:由正弦定理=, 得sin B===>1. 所以角B不存在,即满足条件的三角形不存在. 4.在△ABC中,a=2,b=3,C=60°,则c=　　　　,△ABC的面积=　　　　.  解析:易知c==, △ABC的面积等于×2×3×=. 答案:　 5.在△ABC中,acos A=bcos B,则这个三角形的形状为　　　　　　　　　　　　.  解析:由正弦定理,得sin Acos A=sin Bcos B,即sin 2A=sin 2B,所以2A=2B或2A=π-2B,即A=B或A+B=,所以这个三角形为等腰三角形或直角三角形. 答案:等腰三角形或直角三角形 利用正弦定理、余弦定理解三角形 [例1] (2021·新高考Ⅰ卷)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知b2=ac,点D在边AC上,BDsin∠ABC=asin C. (1)证明:BD=b; (2)若AD=2DC,求cos∠ABC. (1)证明:因为BDsin∠ABC=asin C, 所以在△ABC中,由正弦定理,得BD·b=ac, 又b2=ac,所以BD·b=b2, 又b>0,所以BD=b. (2)解:如图所示,过点D作DE∥BC交AB于E, 因为AD=2DC, 所以==2,=, 所以BE=,DE=a. 在△BDE中,cos∠BED====, 在△ABC中,cos∠ABC===. 因为∠BED=π-∠ABC, 所以cos∠BED=-cos∠ABC, 所以=-, 化简得3c2+6a2-11ac=0, 方程两边同时除以a2, 得3()2-11()+6=0, 解得=或=3. 当=,即c=a时, cos∠ABC===; 当=3,即c=3a时, cos∠ABC===>1(舍去). 综上,cos∠ABC=. (1)正弦定理、余弦定理的作用是在已知三角形部分元素的情况下求解其余元素,基本思想是方程思想,即根据正弦定理、余弦定理列出关于未知元素的方程(组),通过解方程(