第九章 第3节 成对数据的统计分析-【导与练】2024高考数学一轮复习高中总复习第1轮教师用书word（浙江专用）

第3节　成对数据的统计分析 [课程标准要求] 1.会作两个相关变量的数据的散点图,能根据最小二乘原理建立经验回归方程并进行预测,了解样本相关系数的统计含义和残差分析. 2.了解独立性检验的基本思想,2×2列联表的统计意义,能对两个分类变量进行独立性检验. 1.成对数据的统计相关性 (1)变量的相关关系 两个变量有关系,但又没有确切到可由其中的一个去精确地决定另一个的程度,这种关系称为相关关系. (2)散点图 每一个序号下的成对样本数据都可用直角坐标系中的点表示出来,由这些点组成了统计图.我们把这样的统计图叫做散点图. (3)正相关与负相关 从整体上看,当一个变量的值增加时,另一个变量的相应值也呈现增加的趋势,我们就称这两个变量正相关;当一个变量的值增加时,另一个变量的相应值呈现减小的趋势,则称这两个变量负相关. (4)线性相关与曲线相关 一般地,如果两个变量的取值呈现正相关或负相关,而且散点落在一条直线附近,我们就称这两个变量线性相关. 一般地,如果两个变量具有相关性,但不是线性相关,那么我们就称这两个变量非线性相关或曲线相关. (5)样本相关系数 r= =, 我们称r为变量x和变量y的样本相关系数.样本相关系数r的取值范围为[-1,1]. 当r>0时,称成对样本数据正相关,这时,当其中一个数据的值变小时,另一个数据的值通常也变小;当其中一个数据的值变大时,另一个数据的值通常也变大. 当r<0时,称成对样本数据负相关,这时,当其中一个数据的值变小时,另一个数据的值通常会变大;当其中一个数据的值变大时,另一个数据的值通常会变小. 样本相关系数r的绝对值大小可以反映成对样本数据之间线性相关的程度:当|r|越接近1时,成对样本数据的线性相关程度越强;当|r|越接近0时,成对样本数据的线性相关程度越弱. 2.一元线性回归模型及其应用 (1)一元线性回归模型 我们称式子为Y关于x的一元线性回归模型,其中,Y称为因变量或响应变量,x称为自变量或解释变量;a和b为模型的未知参数,a称为截距参数,b称为斜率参数;e是Y与bx+a之间的随机误差. (2)一元线性回归模型参数的最小二乘估计 当a,b的取值为时, Q=达到最小.此时,我们将=x+称为Y关于x的经验回归方程,也称经验回归函数或经验回归公式,其图形称为经验回归直线.这种求经验回归方程的方法叫做最小二乘法,求得的,叫做b,a的最小二乘估计. (3)残差分析 对于响应变量Y,通过观测得到的数据称为观测值,通过经验回归方程得到的称为预测值,观测值减去预测值称为残差.残差是随机误差的估计结果,通过对残差的分析可以判断模型刻画数据的效果,以及判断原始数据中是否存在可疑数据等,这方面工作称为残差分析. 如果在残差的散点图中,残差比较均匀地分布在横轴两边,说明残差比较符合一元线性回归模型的假定,是均值为0、方差为σ2的随机变量的观测值. (4)决定系数R2及其意义 我们也可以用决定系数R2=1-来比较两个模型的拟合效果.在R2表达式中,与经验回归方程无关,残差平方和与经验回归方程有关,因此R2越大,表示残差平方和越小,即模型的拟合效果越好;R2越小,表示残差平方和越大,即模型的拟合效果越差. 3.分类变量与列联表 (1)我们经常会使用一种特殊的随机变量,以区别不同的现象或性质,这类随机变量称为分类变量. (2)人们经常按研究问题的需要,将数据分类统计,并做成表格加以保存.这种形式的数据统计表称为2×2列联表,关于分类变量X和Y的抽样数据的2×2列联表如表所示, X Y 合计 Y=0 Y=1 X=0 a b a+b X=1 c d c+d 合计 a+c b+d n=a+b+c+d 4.独立性检验 (1)独立性检验的概念 利用χ2的取值推断分类变量X和Y是否独立的方法称为χ2独立性检验,读作“卡方独立性检验”,简称独立性检验. (2)独立性检验的计算公式 χ2=(其中n=a+b+c+d).　 (3)独立性检验基于小概率值α的检验规则 当χ2≥xα时,我们就推断H0不成立,即认为X和Y不独立,该推断犯错误的概率不超过α; 当χ2<xα时,我们没有充分证据推断H0不成立,可以认为X和Y独立. (4)χ2独立性检验中常用的小概率值和相应的临界值. α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 (1)独立性检验是对两个变量有关系的可信程度的判断,而不是对其是否有关系的判断. (2)根据χ2的值可以判断两个分类变量有关的可信程度,若χ2越大,则两分类变量有关的把握越大. 1.通常|r|大于0.75时,认为两个变量有很强的线性相关性. 2.经验回归直线一定过点(,).