第二章 第3节 函数的奇偶性与周期性-【导与练】2024高考数学一轮复习高中总复习第1轮教师用书word（浙江专用）

第3节　函数的奇偶性与周期性 [课程标准要求] 1.结合具体函数,了解奇偶性的概念和几何意义. 2.结合函数的周期性、最小正周期的含义,判断应用函数的周期性. 1.函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 一般地,设函数f(x)的定义域为D,如果∀x∈D,都有-x∈D,且f(-x)=f(x),那么函数f(x)就叫做偶函数 关于y轴 对称 奇函数 一般地,设函数f(x)的定义域为D,如果∀x∈D,都有-x∈D,且f(-x)=-f(x),那么函数f(x)就叫做奇函数 关于原点 对称 函数存在奇偶性的前提条件是定义域关于原点对称. 2.函数的周期性 (1)周期函数:一般地,设函数f(x)的定义域为D.如果存在一个非零常数T,使得对每一个x∈D,都有x+T∈D,且f(x+T)=f(x),那么函数f(x)就叫做周期函数,称非零常数T为这个函数的周期. (2)最小正周期:如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期. 1.奇偶性的四个重要结论 (1)如果一个奇函数f(x)在原点处有定义,即f(0)有意义,那么一定有f(0)=0. (2)如果函数f(x)是偶函数,那么f(x)=f(-x)=f(|x|). (3)若函数满足f(x)=0或解析式可化简为f(x)=0(x∈D),其中定义域D是关于原点对称的非空数集,则函数既是奇函数又是偶函数. (4)在公共定义域内有:奇±奇=奇,偶±偶=偶,奇×奇=偶,偶×偶=偶,奇×偶=奇. 2.周期性的常用结论 设函数y=f(x),x∈R,a>0. (1)若f(x+a)=f(x-a),则函数的一个周期为2a. (2)若f(x+a)=-f(x),则函数的一个周期为2a. (3)若f(x+a)=,则函数的一个周期为2a. (4)若f(x+a)=-,则函数的一个周期为2a. 3.对称性的四个常用结论 (1)若函数y=f(x+a)是偶函数,则函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称,即f(a+x)=f(a-x)或f(x)=f(2a-x). (2)若函数y=f(x+b)是奇函数,则函数y=f(x)的图象关于点(b,0)中心对称,即f(b+x)+f(b-x)=0或f(x)+f(2b-x)=0. (3)若函数y=f(x)满足f(m)=f(n),且m+n=p(常数),则y=f(x)的图象关于直线x=对称. (4)若函数y=f(x)满足f(m)+f(n)=q,且m+n=p(常数),则y=f(x)的图象关于点(,)对称.特别地,当q=0时,y=f(x)的图象关于点(,0)对称. 1.(多选题)(必修第一册P84例6改编)下列说法正确的是(　AB　) A.图象关于坐标原点对称的函数是奇函数 B.图象关于y轴对称的函数是偶函数 C.函数y=x2在(0,+∞)上是偶函数 D.若函数f(x)为奇函数,则一定有f(0)=0 解析:由奇函数、偶函数的性质,知A,B说法正确;对于C,由于偶函数的定义域关于原点对称,故y=x2在(0,+∞)上不具有奇偶性,错误;对于D,由奇函数定义可知,若f(x)为奇函数,则f(x)须在x=0处有意义才满足f(0)=0,错误. 2.(2022·河北衡水月考)已知f(x)=ax2+bx是定义在[a-1,2a]上的偶函数,那么a+b的值是(　B　) A.- B. C. D.- 解析:因为f(x)=ax2+bx是定义在[a-1,2a]上的偶函数,所以a-1+2a=0,所以a=.又f(-x)=f(x),所以b=0,所以a+b=. 3.(2021·全国甲卷)设f(x)是定义域为R的奇函数,且f(1+x)=f(-x).若f(-)=,则f()等于(　C　) A.- B.- C. D. 解析:因为f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(-x)=-f(x).又f(1+x)=f(-x),所以f(2+x)=f[1+(1+x)]=f[-(1+x)]=-f(1+x)=-f(-x)=f(x),所以函数f(x)是以2为周期的周期函数,f()=f(-2)=f(-)=. 4.已知f(x)为定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=2x+m,则f(-3)=　　　　.  解析:因为f(x)为R上的奇函数, 所以f(0)=0, 即f(0)=20+m=0, 解得m=-1, 故f(x)=2x-1(x≥0), 则f(-3)=-f(3)=-(23-1)=-7. 答案:-7 5.写出一个同时具有下列性质①②③的函数f(x)=　　　　.  ①f(x)是定义域为R的奇函数;②f(1+x)=f(1-x);③f(1)=2. 解析:由条件①②③可知函数是对称轴为直线x=1,定义域为R的奇函数,可写出满足条件的函数f(x)=2sin x(答案不唯一). 答案:2sin (答案不唯一) 函数奇偶