第八章 培优课(五) 直线与圆锥曲线的位置关系-【导与练】2024高考数学一轮复习高中总复习第1轮教师用书word（浙江专用）

培优课(五)　直线与圆锥曲线的位置关系 直线与圆锥曲线的位置关系,主要涉及判定直线与圆锥曲线的交点个数、研究交点的性质(如求弦长或由交点构成的几何图形的有关性质)等问题,它是圆锥曲线的定义、性质与直线的基础知识的综合应用,涉及数形结合、函数与方程、分类讨论等数学思想方法. 直线与圆锥曲线的位置关系的判断 [典例1] 已知双曲线C:2x2-y2=2与点P(1,2),讨论过点P的直线l的斜率的情况,使l与双曲线C分别有一个公共点、两个公共点、没有公共点. 解:①当l垂直于x轴时,直线l与双曲线C相切,有一个公共点. ②当l与x轴不垂直时,设直线l的方程为 y-2=k(x-1), 与双曲线C的方程联立,消去y, 得(2-k2)x2+2(k2-2k)x-k2+4k-6=0. 当k2=2,即k=或-时,方程有一个解. 当k2≠2时,Δ=48-32k. 令Δ=0,可得k=;令Δ>0,可得k<,且k≠±;令Δ<0,可得k>. 综上所述,当斜率k∈或直线l的斜率不存在时,直线与双曲线有1个公共点; 当k∈(-∞,-)∪(-,)∪(,)时,直线与双曲线有2个公共点; 当k∈(,+∞)时,直线与双曲线没有公共点. (1)直线与圆锥曲线的位置关系判断方法 判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时,通常将直线l的方程Ax+By+C=0(A,B不同时为0)代入圆锥曲线C的方程F(x,y)=0,消去y(或x)得到一个关于变量x(或y)的一元方程. 例:由消去y,得ax2+bx+c=0. ①当a≠0时,设一元二次方程ax2+bx+c=0的判别式为Δ,则 Δ>0⇔直线与圆锥曲线C相交; Δ=0⇔直线与圆锥曲线C相切; Δ<0⇔直线与圆锥曲线C相离. ②当a=0,b≠0时,得到一个一元一次方程,则直线l与圆锥曲线C相交,且只有一个交点,此时, 若C为双曲线,则直线l与双曲线的渐近线平行; 若C为抛物线,则直线l与抛物线的对称轴平行或重合. (2)过一点的直线与圆锥曲线的位置关系 ①过椭圆外一点总有两条直线与椭圆相切; 过椭圆上一点有且只有一条直线与椭圆相切; 过椭圆内一点的直线与椭圆相交. ②过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点:两条切线和一条与对称轴平行或重合的直线; 过抛物线上一点总有两条直线与抛物线有且只有一个公共点:一条切线和一条与对称轴平行或重合的直线; 过抛物线内一点只有一条直线与抛物线有且只有一个公共点:一条与对称轴平行或重合的直线. ③过双曲线外不在渐近线上的一点总有四条直线与双曲线有且只有一个交点:两条切线和两条与渐近线平行的直线; 过双曲线上一点总有三条直线与双曲线有且只有一个交点:一条切线和两条与渐近线平行的直线; 过双曲线内一点总有两条直线与双曲线有且只有一个交点:两条与渐近线平行的直线. (3)特别地,直线与焦点在x轴上的双曲线交于左右两支的情况: 右支左支 [拓展演练] (1)过点(0,1)与抛物线y2=8x只有一个公共点的直线有(　　) A.1条 B.2条 C.3条 D.无数条 (2)已知椭圆+=1,直线mx+y+m-1=0,那么直线与椭圆的位置关系是(　　) A.相交 B.相离 C.相切 D.不确定 解析:(1)①当直线斜率不存在时,方程为x=0,与抛物线y2=8x只有一个公共点; ②当直线斜率存在时,设直线方程为y=kx+1,由消去y, 得k2x2+(2k-8)x+1=0, 若k=0,此时方程为y=1,与抛物线y2=8x只有一个公共点; 若k≠0,由Δ=(2k-8)2-4k2=0,解得k=2,故直线方程为y=2x+1, 所以存在3条直线y=1,x=0,y=2x+1满足过点(0,1)与抛物线y2=8x只有一个公共点.故选C. (2)由mx+y+m-1=0可知m(x+1)+y-1=0,即直线恒过定点(-1,1), 由于+=<1,因此点(-1,1)在椭圆+=1内部,所以直线与椭圆相交.故选A. 弦长问题 [典例2] 过椭圆+y2=1的左焦点F1的直线交椭圆于A,B两点,且弦=3,求直线AB的方程. 解:设A(x1,y1),B(x2,y2),由椭圆的方程可知F1(-,0),由题意,得直线AB的斜率存在且不为0,所以设直线AB的方程为y=k(x+),与椭圆方程x2+4y2=4联立消去y,得(1+4k2)x2+8k2x+12k2-4=0(由于焦点在椭圆内,Δ>0成立),由根与系数的关系,得 x1+x2=-,x1x2=. 由弦长公式有 |AB|=· =· =·=3, 解得k=±. 则直线AB的方程为y=x+或y=-x-. 设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于两点A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB|=|x1-x2|=·或|AB|=·|y1-y2|=·. [拓展演练] (1)已知双曲线C:-=1(a>0